Aljabar linear adalah cabang matematika yang mempelajari vektor, ruang vektor (atau ruang linear), transformasi linear, dan sistem persamaan linear. Konsep-konsepnya sangat fundamental dalam berbagai bidang sains, teknik, ekonomi, dan ilmu komputer. Salah satu operasi dasar namun krusial dalam aljabar linear adalah perkalian dan pembagian dengan bilangan skalar, baik pada vektor maupun matriks.
Ketika kita berbicara tentang perkalian bilangan skalar pada vektor, kita mengalikan setiap komponen vektor dengan bilangan tersebut. Bilangan skalar adalah bilangan tunggal, seperti 2, -5, atau 0.5. Jika kita memiliki vektor v = [v1, v2, ..., vn] dan skalar c, maka perkalian c * v menghasilkan vektor baru di mana setiap komponennya adalah hasil perkalian komponen asli dengan c:
c * v = [c * v1, c * v2, ..., c * vn]
Secara geometris, perkalian skalar mengubah panjang vektor. Jika c positif, panjang vektor berubah dengan faktor c dan arahnya tetap sama. Jika c negatif, panjang vektor berubah dengan faktor |c| dan arahnya berbalik. Jika c adalah 0, hasilnya adalah vektor nol.
Contoh:
Jika vektor u = [3, -1, 4] dan skalar k = 2, maka:
k * u = 2 * [3, -1, 4] = [2*3, 2*(-1), 2*4] = [6, -2, 8]
Pembagian vektor dengan skalar pada dasarnya sama dengan perkalian dengan kebalikan skalar tersebut. Jika kita ingin membagi vektor v dengan skalar c (di mana c != 0), kita dapat menganggapnya sebagai perkalian vektor v dengan skalar 1/c.
v / c = v * (1/c) = [(1/c) * v1, (1/c) * v2, ..., (1/c) * vn]
Contoh:
Jika vektor w = [10, -5, 15] dan kita ingin membaginya dengan skalar d = 5, maka:
w / d = [10/5, -5/5, 15/5] = [2, -1, 3]
Atau, kita bisa mengalikannya dengan 1/5:
w * (1/5) = [10 * (1/5), -5 * (1/5), 15 * (1/5)] = [2, -1, 3]
Prinsip yang sama berlaku untuk matriks. Perkalian matriks dengan skalar berarti mengalikan setiap elemen matriks dengan skalar tersebut. Jika M adalah matriks berukuran m x n dan s adalah skalar, maka matriks sM adalah matriks berukuran m x n di mana setiap elemen (sM)ij adalah s * Mij.
Misalnya, jika matriks
P = [[1, 2], [3, 4]]
dan skalar q = 3, maka:
q * P = 3 * [[1, 2], [3, 4]] = [[3*1, 3*2], [3*3, 3*4]] = [[3, 6], [9, 12]]
Pembagian matriks dengan skalar juga dilakukan dengan membagi setiap elemen matriks dengan skalar tersebut (dengan syarat skalar bukan nol).
Jika kita memiliki matriks
Q = [[10, 20], [30, 40]]
dan ingin membaginya dengan skalar r = 10, maka:
Q / r = [[10/10, 20/10], [30/10, 40/10]] = [[1, 2], [3, 4]]
Operasi perkalian dan pembagian dengan skalar adalah blok bangunan fundamental dalam aljabar linear. Mereka digunakan dalam:
Memahami cara kerja operasi ini secara intuitif dan matematis sangat penting untuk menguasai konsep-konsep aljabar linear yang lebih kompleks, seperti penjumlahan vektor, perkalian dot product, dan invers matriks. Dengan penguasaan operasi dasar ini, Anda akan lebih siap untuk menjelajahi dunia aljabar linear yang luas dan aplikasinya yang beragam.