Faktorisasi adalah salah satu keterampilan fundamental dalam aljabar yang memungkinkan kita untuk menyederhanakan ekspresi, menyelesaikan persamaan, dan memahami struktur matematika yang lebih kompleks. Memahami cara memfaktorkan aljabar bagaikan memiliki kunci untuk membuka pintu ke berbagai konsep matematika tingkat lanjut. Artikel ini akan memandu Anda melalui berbagai teknik faktorisasi, mulai dari yang paling dasar hingga yang lebih canggih, dengan penjelasan yang mudah dipahami.
Ilustrasi visual yang menunjukkan bahwa faktorisasi memecah ekspresi menjadi faktor-faktor yang lebih kecil.
Faktorisasi aljabar adalah proses kebalikan dari perkalian. Jika perkalian menggabungkan dua atau lebih ekspresi untuk menghasilkan ekspresi yang lebih besar, maka faktorisasi memecah sebuah ekspresi menjadi perkalian dari faktor-faktor yang lebih sederhana. Tujuannya adalah untuk menemukan ekspresi-ekspresi yang ketika dikalikan akan menghasilkan ekspresi awal.
Contoh sederhana: Jika kita memiliki ekspresi 12, memfaktorkannya berarti mencari bilangan-bilangan yang jika dikalikan menghasilkan 12. Faktor-faktor dari 12 bisa berupa 1 x 12, 2 x 6, atau 3 x 4. Dalam aljabar, kita melakukan hal yang sama tetapi dengan variabel dan konstanta.
Faktorisasi sangat berguna dalam berbagai aspek matematika, termasuk:
ax² + bx + c = 0 seringkali paling mudah diselesaikan dengan memfaktorkan ekspresi kuadrat.x di mana f(x) = 0) sangat bergantung pada kemampuan untuk memfaktorkan fungsi tersebut.Ini adalah langkah pertama yang paling penting dan harus selalu dicoba. FPB adalah faktor terbesar yang dapat membagi habis setiap suku dalam ekspresi.
Contoh: Faktorkan ekspresi 6x + 9y.
6x dan 9y adalah 3.Sekarang, keluarkan FPB tersebut dari setiap suku:
6x + 9y = 3(2x + 3y)Untuk memeriksa, kalikan kembali: 3 * 2x = 6x dan 3 * 3y = 9y. Hasilnya sesuai.
Contoh lain: Faktorkan 4a²b - 8ab².
a, pangkat terendah adalah 1 (a¹ atau a).b, pangkat terendah adalah 1 (b¹ atau b).4ab.Keluarkan FPB:
4a²b - 8ab² = 4ab(a - 2b)Polinomial kuadrat adalah ekspresi dalam bentuk ax² + bx + c. Ada beberapa cara untuk memfaktorkannya, tergantung pada nilai a.
Jika Anda memiliki ekspresi yang merupakan selisih dari dua kuadrat sempurna, Anda bisa memfaktorkannya dengan rumus:
a² - b² = (a - b)(a + b)Contoh: Faktorkan x² - 25.
x² adalah kuadrat dari x.25 adalah kuadrat dari 5.x² - 25 = (x - 5)(x + 5)Contoh: Faktorkan 9y² - 16z².
9y² adalah kuadrat dari 3y.16z² adalah kuadrat dari 4z.9y² - 16z² = (3y - 4z)(3y + 4z)Untuk bentuk x² + bx + c, kita mencari dua bilangan, katakanlah p dan q, sedemikian rupa sehingga:
p * q = c (hasil kali kedua bilangan sama dengan konstanta)p + q = b (jumlah kedua bilangan sama dengan koefisien x)Jika Anda menemukan p dan q, maka faktorisasi trinomial tersebut adalah (x + p)(x + q).
Contoh: Faktorkan x² + 7x + 12.
p = 3 dan q = 4.x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)Contoh dengan bilangan negatif: Faktorkan x² - 5x + 6.
p = -2 dan q = -3.x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)Untuk bentuk ax² + bx + c di mana a bukan 1, prosesnya sedikit lebih rumit. Salah satu metode umum adalah metode "ac".
a dan c (ac).p dan q, yang jika dikalikan menghasilkan ac dan jika dijumlahkan menghasilkan b.bx) sebagai jumlah dari px dan qx.Contoh: Faktorkan 2x² + 5x + 3.
a = 2, b = 5, c = 3.ac = 2 * 3 = 6.2 * 3 = 6, 2 + 3 = 5).2x² + 2x + 3x + 3.(2x² + 2x) + (3x + 3).2x(x + 1) + 3(x + 1).(x + 1) adalah faktor yang sama. Keluarkan: (x + 1)(2x + 3).2x² + 5x + 3 = (x + 1)(2x + 3)Faktorisasi adalah alat yang ampuh dalam kotak perkakas matematika Anda. Dengan memahami berbagai teknik dan berlatih secara konsisten, Anda akan menjadi lebih percaya diri dalam memanipulasi ekspresi aljabar dan menangani masalah matematika yang lebih kompleks.