Cara Pecahan Aljabar: Panduan Lengkap dan Mudah

Pecahan Aljabar Sederhanakan & Operasikan

Memahami dan menguasai pecahan aljabar sangat penting dalam matematika.

Pecahan aljabar, atau sering disebut juga ekspresi rasional, adalah sebuah pecahan yang pembilang (numerator) dan penyebutnya (denominator) adalah ekspresi aljabar. Ekspresi aljabar ini bisa berupa variabel tunggal, konstanta, atau kombinasi keduanya yang dihubungkan oleh operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Menguasai cara bekerja dengan pecahan aljabar merupakan keterampilan mendasar dalam aljabar, yang akan sangat membantu Anda dalam memecahkan berbagai masalah matematika yang lebih kompleks, mulai dari penyederhanaan persamaan hingga analisis fungsi.

Apa Itu Pecahan Aljabar?

Secara umum, pecahan aljabar memiliki bentuk:

&frac; P(x) }{ Q(x) }

di mana P(x) adalah pembilang dan Q(x) adalah penyebut. Penting untuk diingat bahwa penyebut Q(x) tidak boleh sama dengan nol, karena pembagian dengan nol tidak terdefinisi dalam matematika.

Operasi Dasar pada Pecahan Aljabar

Sama seperti pecahan biasa, pecahan aljabar juga dapat dijumlahkan, dikurangi, dikalikan, dan dibagi. Namun, prosesnya sedikit lebih rumit karena melibatkan variabel dan ekspresi aljabar.

1. Menyederhanakan Pecahan Aljabar

Langkah pertama dan paling penting dalam bekerja dengan pecahan aljabar adalah menyederhanakannya. Tujuannya adalah untuk membatalkan faktor-faktor umum yang ada di pembilang dan penyebut.

Langkah-langkah menyederhanakan:

  1. Faktorkan pembilang dan penyebut sepenuhnya. Ini mungkin melibatkan pemfaktoran polinomial, perbedaan kuadrat, atau metode pemfaktoran lainnya.
  2. Identifikasi faktor-faktor yang sama di pembilang dan penyebut.
  3. Batalkan faktor-faktor yang sama tersebut. Pastikan untuk mencatat nilai-nilai variabel yang membuat penyebut asli menjadi nol, karena nilai-nilai tersebut tidak termasuk dalam domain ekspresi yang disederhanakan.

Contoh: Sederhanakan &frac; {x^2 - 4} }{ {x - 2} }

Solusi:

1. Faktorkan pembilang: {x^2 - 4} adalah perbedaan kuadrat, jadi faktornya adalah (x - 2)(x + 2). Penyebutnya adalah (x - 2).

2. Persamaan menjadi: &frac; {(x - 2)(x + 2)} }{ {x - 2} }

3. Batalkan faktor (x - 2) yang sama:

&frac; {\cancel{(x - 2)}(x + 2)} }{ {\cancel{(x - 2)}} } = x + 2

Pecahan yang disederhanakan adalah x + 2. Perlu dicatat bahwa x tidak boleh sama dengan 2.

2. Mengalikan Pecahan Aljabar

Perkalian pecahan aljabar relatif mudah. Anda hanya perlu mengalikan pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut.

&frac; {a}{b} \times &frac; {c}{d} = &frac; {ac}{bd}

Setelah mengalikan, selalu usahakan untuk menyederhanakan hasilnya.

Contoh: Kalikan &frac; {2x}{3y} dengan &frac; {6y^2}{4x^2}

Solusi:

1. Kalikan pembilang dan penyebut:

&frac; {2x \times 6y^2}{3y \times 4x^2} = &frac; {12xy^2}{12x^2y}

2. Sederhanakan hasilnya:

&frac; {\cancel{12}\cancel{x}\cancel{y}y}{\cancel{12}\cancel{x}x\cancel{y}} = &frac; {y}{x}

3. Membagi Pecahan Aljabar

Pembagian pecahan aljabar sama dengan mengalikan pecahan pertama dengan kebalikan (reciprocal) dari pecahan kedua.

&frac; {a}{b} \div &frac; {c}{d} = &frac; {a}{b} \times &frac; {d}{c} = &frac; {ad}{bc}

Pastikan penyebut pecahan kedua tidak nol, yang berarti c tidak boleh nol.

Contoh: Bagi &frac; {x+1}{x-1} dengan &frac; {x^2-1}{x+2}

Solusi:

1. Ubah menjadi perkalian dengan kebalikan:

&frac; {x+1}{x-1} \times &frac; {x+2}{x^2-1}

2. Faktorkan {x^2-1} menjadi (x-1)(x+1):

&frac; {x+1}{x-1} \times &frac; {x+2}{(x-1)(x+1)}

3. Kalikan:

&frac; {(x+1)(x+2)}{(x-1)(x-1)(x+1)}

4. Sederhanakan (batalkan x+1):

&frac; {\cancel{(x+1)}(x+2)}{(x-1)(x-1)\cancel{(x+1)}} = &frac; {x+2}{(x-1)^2}

4. Menjumlahkan dan Mengurangi Pecahan Aljabar

Operasi penjumlahan dan pengurangan adalah yang paling menantang. Kuncinya adalah menemukan penyebut bersama (common denominator) terkecil (KPK) dari semua penyebut yang ada.

Langkah-langkah:

  1. Faktorkan semua penyebut.
  2. Temukan KPK dari semua penyebut. KPK ini akan menjadi penyebut bersama Anda.
  3. Ubah setiap pecahan agar memiliki penyebut bersama tersebut. Kalikan pembilang dan penyebut dari setiap pecahan dengan faktor yang diperlukan untuk mencapai penyebut bersama.
  4. Jumlahkan atau kurangi pembilang (jaga agar penyebut tetap sama).
  5. Sederhanakan hasilnya jika memungkinkan.

Contoh: Jumlahkan &frac; {2}{x-3} + &frac; {5}{x+3}

Solusi:

1. Penyebut sudah terfaktorkan: (x-3) dan (x+3).

2. KPK dari (x-3) dan (x+3) adalah (x-3)(x+3).

3. Ubah pecahan:

4. Jumlahkan pembilang:

&frac; {2(x+3) + 5(x-3)}{(x-3)(x+3)}

5. Sederhanakan:

&frac; {2x + 6 + 5x - 15}{(x-3)(x+3)} = &frac; {7x - 9}{(x-3)(x+3)}

Menguasai pecahan aljabar membutuhkan latihan. Dengan memahami konsep dasar dan mengikuti langkah-langkah yang sistematis, Anda akan semakin mahir dalam mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan ekspresi rasional.

Related Posts

🏠 Homepage