Dalam dunia matematika, bilangan aljabar merupakan salah satu konsep fundamental yang memiliki peran penting dalam berbagai cabang ilmu pengetahuan. Berbeda dengan bilangan rasional yang dapat dinyatakan sebagai perbandingan dua bilangan bulat, bilangan aljabar mencakup cakupan yang lebih luas, termasuk akar-akar dari persamaan polinomial dengan koefisien rasional. Memahami contoh-contoh bilangan aljabar dapat membantu kita mengapresiasi keindahan dan kedalaman matematika.
Secara formal, sebuah bilangan kompleks dikatakan aljabar jika ia merupakan akar dari sebuah persamaan polinomial non-nol yang memiliki koefisien bilangan bulat. Persamaan polinomial ini dapat ditulis dalam bentuk:
a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0 = 0
di mana a_i adalah bilangan bulat dan setidaknya satu dari a_i bukan nol.
Cakupan bilangan aljabar jauh lebih luas daripada sekadar bilangan bulat atau rasional. Bilangan irasional seperti √2, √3, atau π (meskipun π adalah bilangan transenden, yang berarti ia bukan aljabar) adalah contoh bilangan yang sering muncul dalam konteks aljabar. Namun, fokus utama kita adalah pada bilangan yang memenuhi definisi aljabar.
Semua bilangan bulat (..., -2, -1, 0, 1, 2, ...) dan bilangan rasional (p/q di mana p dan q adalah bilangan bulat, q ≠ 0) adalah bilangan aljabar. Mengapa? Karena mereka adalah akar dari persamaan polinomial sederhana. Misalnya:
5 adalah akar dari persamaan x - 5 = 0.1/2 adalah akar dari persamaan 2x - 1 = 0.-3 adalah akar dari persamaan x + 3 = 0.Akar-akar dari persamaan kuadrat seringkali merupakan contoh bilangan aljabar yang menarik. Pertimbangkan persamaan:
x² - 2 = 0
Akar-akar dari persamaan ini adalah x = √2 dan x = -√2. Kedua bilangan ini adalah bilangan aljabar karena merupakan akar dari persamaan polinomial dengan koefisien bilangan bulat (a₂ = 1, a₁ = 0, a₀ = -2).
Contoh lain:
x² - 4x + 4 = 0
Persamaan ini memiliki akar kembar, yaitu x = 2. Sekali lagi, 2 adalah bilangan bulat dan tentu saja aljabar.
x² - 3x + 2 = 0
Akar-akarnya adalah x = 1 dan x = 2, keduanya adalah bilangan bulat dan aljabar.
Konsep bilangan aljabar meluas ke persamaan polinomial dengan derajat yang lebih tinggi. Misalnya, kita punya persamaan:
x³ - 8 = 0
Salah satu akarnya adalah x = 2 (bilangan real aljabar). Namun, persamaan ini juga memiliki dua akar kompleks lainnya, yang juga merupakan bilangan aljabar.
Pertimbangkan persamaan kubik umum:
x³ - 6x² + 11x - 6 = 0
Akar-akarnya adalah x = 1, x = 2, dan x = 3. Semua adalah bilangan bulat, sehingga aljabar.
Bagaimana dengan persamaan yang menghasilkan akar yang lebih "rumit"?
x⁴ - 1 = 0
Akar-akarnya adalah 1, -1, i, -i. Di sini, i adalah unit imajiner (i² = -1). Keduanya i dan -i adalah bilangan aljabar karena mereka adalah akar dari x² + 1 = 0.
Banyak bilangan yang kita kenal dalam bentuk akar adalah bilangan aljabar. Selain √2, kita punya:
√3 (akar dari x² - 3 = 0)³√5 (akar dari x³ - 5 = 0)√7 - 1 (ini adalah akar dari persamaan (x+1)² - 7 = 0 yang disederhanakan menjadi x² + 2x - 6 = 0)Bilangan-bilangan ini disebut sebagai akar dari polinomial dengan koefisien rasional. Jika sebuah bilangan adalah akar dari polinomial dengan koefisien bulat, maka ia adalah bilangan aljabar.
Memahami konsep bilangan aljabar membuka pintu ke berbagai topik matematika yang lebih lanjut, termasuk teori Galois, yang menghubungkan teori grup dengan akar polinomial. Bilangan aljabar juga muncul secara alami dalam studi geometri, teori bilangan, dan analisis kompleks. Dengan mengenali berbagai contoh bilangan aljabar, kita dapat memperdalam pemahaman kita tentang struktur matematika dan bagaimana berbagai jenis bilangan saling berhubungan.