Penjumlahan pecahan aljabar memiliki prinsip yang sama dengan penjumlahan pecahan biasa. Kunci utamanya adalah menyamakan penyebutnya. Jika penyebutnya sudah sama, Anda bisa langsung menjumlahkan pembilangnya. Namun, jika penyebutnya berbeda, Anda perlu mencari Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari penyebut tersebut untuk menjadikannya sama.
Dalam konteks aljabar, penyebut dan pembilang bisa berupa ekspresi matematika yang mengandung variabel. Prosesnya mungkin terlihat sedikit lebih rumit karena melibatkan manipulasi aljabar, tetapi langkah-langkah dasarnya tetap konsisten.
Langkah-langkah Penjumlahan Pecahan Aljabar
Mari kita uraikan langkah-langkah penting dalam menjumlahkan dua pecahan aljabar:
1
Identifikasi Pecahan dan Penyebutnya: Perhatikan setiap pecahan yang akan dijumlahkan dan identifikasi pembilang serta penyebutnya.
2
Periksa Kesamaan Penyebut: Bandingkan penyebut dari kedua pecahan.
3
Menyamakan Penyebut (Jika Berbeda):
Jika penyebutnya berbeda, cari KPK dari kedua penyebut.
Kalikan pembilang dan penyebut setiap pecahan dengan faktor yang sesuai agar penyebutnya sama dengan KPK. Ingat, mengalikan pembilang dan penyebut dengan bilangan yang sama tidak mengubah nilai pecahan.
4
Jumlahkan Pembilang: Setelah penyebutnya sama, jumlahkan pembilang dari kedua pecahan tersebut. Penyebutnya tetap sama.
5
Sederhanakan Hasil (Jika Memungkinkan): Periksa apakah hasil penjumlahan dapat disederhanakan. Ini mungkin melibatkan pemfaktoran pembilang dan penyebut untuk menemukan faktor persekutuan yang bisa dicoret.
Contoh Soal dan Penyelesaian
Mari kita terapkan langkah-langkah di atas pada contoh soal yang umum.
Contoh 1: Penyebut Berbeda
Jumlahkan pecahan berikut:
&frac{x + 2}{3} + &frac{x - 1}{2}
Penyelesaian:
Langkah 1 & 2: Kita punya dua pecahan dengan penyebut 3 dan 2. Penyebutnya berbeda.
Langkah 3: Menyamakan penyebut.
KPK dari 3 dan 2 adalah 6.
Untuk pecahan pertama (&frac{x + 2}{3}), kita kalikan pembilang dan penyebutnya dengan 2:
&frac{(x + 2) \times 2}{3 \times 2} = &frac{2(x + 2)}{6} = &frac{2x + 4}{6}
Untuk pecahan kedua (&frac{x - 1}{2}), kita kalikan pembilang dan penyebutnya dengan 3:
&frac{(x - 1) \times 3}{2 \times 3} = &frac{3(x - 1)}{6} = &frac{3x - 3}{6}
Sekarang kedua pecahan memiliki penyebut yang sama, yaitu 6:
&frac{2x + 4}{6} + &frac{3x - 3}{6}
Langkah 4: Jumlahkan pembilang.
&frac{(2x + 4) + (3x - 3)}{6}
Gabungkan suku-suku sejenis pada pembilang:
&frac{2x + 3x + 4 - 3}{6} = &frac{5x + 1}{6}
Langkah 5: Sederhanakan hasil.
Pecahan &frac{5x + 1}{6} sudah dalam bentuk paling sederhana karena tidak ada faktor persekutuan antara pembilang (5x + 1) dan penyebut (6).
Jadi, hasil dari &frac{x + 2}{3} + &frac{x - 1}{2} adalah &frac{5x + 1}{6}.
Contoh 2: Melibatkan Faktorisasi
Jumlahkan:
&frac{y}{y - 1} + &frac{1}{y^2 - 1}
Penyelesaian:
Langkah 1 & 2: Penyebutnya adalah (y - 1) dan (y^2 - 1). Penyebutnya berbeda dan salah satunya bisa difaktorkan.
Periksa apakah pembilang (y^2 + y + 1) dapat difaktorkan atau memiliki faktor persekutuan dengan penyebut (y - 1)(y + 1). Dalam kasus ini, pembilang tidak dapat difaktorkan lebih lanjut dan tidak memiliki faktor persekutuan dengan penyebut.
Jadi, hasil dari &frac{y}{y - 1} + &frac{1}{y^2 - 1} adalah &frac{y^2 + y + 1}{(y - 1)(y + 1)} atau bisa juga ditulis sebagai &frac{y^2 + y + 1}{y^2 - 1}.
Memahami konsep menyamakan penyebut adalah kunci dalam mengerjakan soal-soal penjumlahan pecahan aljabar. Latihan yang konsisten akan membantu Anda menguasai teknik faktorisasi dan manipulasi aljabar yang dibutuhkan.