Aljabar linear adalah cabang matematika yang mempelajari vektor, ruang vektor (atau ruang linear), transformasi linear, dan sistem persamaan linear. Bidang ini sangat fundamental dalam sains dan teknik. Kemampuannya untuk memodelkan hubungan linear dan menganalisis data yang kompleks menjadikannya alat yang tak ternilai dalam berbagai disiplin ilmu.
Inti dari aljabar linear adalah gagasan tentang objek matematis yang dapat digambarkan oleh sejumlah nilai numerik. Objek-objek ini kemudian dapat dimanipulasi menggunakan operasi-operasi yang terdefinisi dengan baik untuk mendapatkan informasi baru atau memecahkan masalah.
Visualisasi penjumlahan dua vektor dalam ruang 2D.
Konsep fundamental pertama dalam aljabar linear adalah vektor. Secara sederhana, vektor dapat dibayangkan sebagai anak panah yang memiliki besar (panjang) dan arah. Dalam konteks matematis, vektor adalah susunan angka yang diorganisir dalam sebuah daftar atau array. Misalnya, vektor di ruang dua dimensi (2D) dapat direpresentasikan sebagai (x, y), di mana x adalah komponen pada sumbu horizontal dan y adalah komponen pada sumbu vertikal. Sementara itu, vektor di ruang tiga dimensi (3D) dapat direpresentasikan sebagai (x, y, z).
Vektor memiliki dua operasi utama: penjumlahan vektor dan perkalian skalar. Penjumlahan vektor dilakukan dengan menjumlahkan komponen-komponen yang bersesuaian. Jika kita memiliki dua vektor, u = (u₁, u₂) dan v = (v₁, v₂), maka penjumlahan u + v = (u₁ + v₁, u₂ + v₂). Perkalian skalar melibatkan perkalian setiap komponen vektor dengan sebuah bilangan tunggal (skalar). Contohnya, jika k adalah skalar, maka ku = (ku₁, ku₂).
Representasi geometris vektor sangat membantu dalam memahami konsep-konsep aljabar linear. Penjumlahan vektor dapat divisualisasikan sebagai aturan segitiga atau jajar genjang. Perkalian skalar mengubah panjang vektor; jika skalar positif, arah tetap sama; jika negatif, arah berbalik; jika skalar nol, hasilnya adalah vektor nol.
Konsep penting lainnya adalah matriks. Matriks adalah susunan bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Matriks dapat dianggap sebagai kumpulan vektor yang tersusun secara terstruktur. Ukuran matriks ditentukan oleh jumlah baris dan jumlah kolomnya (misalnya, matriks berukuran m x n memiliki m baris dan n kolom).
Matriks memiliki peran sentral dalam aljabar linear karena mampu merepresentasikan berbagai jenis informasi, seperti sistem persamaan linear, transformasi geometris, dan data dalam tabel. Operasi-operasi pada matriks meliputi:
Aljabar linear sangat efektif dalam memecahkan sistem persamaan linear. Sistem persamaan linear adalah sekumpulan persamaan yang masing-masing merupakan persamaan linear. Contohnya:
2x + 3y = 7
x - y = 1
Dalam bentuk matriks, sistem persamaan linear ini dapat ditulis sebagai Ax = b, di mana A adalah matriks koefisien, x adalah vektor variabel, dan b adalah vektor konstanta.
Matriks memberikan cara yang sistematis dan efisien untuk menyelesaikan sistem persamaan linear, seperti menggunakan metode eliminasi Gauss, metode invers matriks, atau aturan Cramer. Solusi dari sistem persamaan linear menunjukkan titik potong dari garis-garis (atau bidang-bidang, atau hyperplane dalam dimensi yang lebih tinggi) yang direpresentasikan oleh persamaan-persamaan tersebut.
Lebih lanjut, aljabar linear mempelajari konsep ruang vektor, yaitu himpunan objek (vektor) yang memenuhi aksioma-aksioma tertentu terkait penjumlahan dan perkalian skalar. Konsep ini memungkinkan kita untuk menggeneralisasi ide-ide tentang vektor ke objek yang lebih abstrak.
Transformasi linear adalah fungsi antara dua ruang vektor yang menjaga struktur linear. Transformasi ini dapat dibayangkan sebagai operasi yang memutar, meregangkan, atau mencerminkan vektor. Matriks adalah representasi utama dari transformasi linear. Dengan mengalikan vektor dengan sebuah matriks, kita dapat menerapkan transformasi linear pada vektor tersebut.
Secara keseluruhan, aljabar linear menyediakan kerangka kerja yang kuat untuk memahami dan memanipulasi struktur data linear. Konsep-konsepnya tidak hanya penting dalam matematika murni, tetapi juga mendasari banyak algoritma dalam ilmu komputer, analisis data, fisika, rekayasa, ekonomi, dan bidang lainnya.