Ilustrasi sederhana operasi max plus.
Dalam dunia matematika dan ilmu komputer, kita sering kali dihadapkan pada berbagai struktur aljabar yang membantu memodelkan dan menyelesaikan masalah. Salah satu yang mungkin kurang familiar namun sangat kuat adalah aljabar max plus. Aljabar ini, juga dikenal sebagai aljabar tropical atau aljabar min-plus (tergantung pada konvensi operasi yang dipilih), menawarkan cara pandang yang unik terhadap operasi penjumlahan dan perkalian. Berbeda dengan aljabar klasik yang kita kenal, aljabar max plus mengganti operasi standar dengan operasi yang berbeda, membuka pintu untuk aplikasi dalam bidang yang luas.
Secara fundamental, aljabar max plus adalah sebuah struktur aljabar yang dibangun di atas himpunan bilangan real, biasanya diperluas dengan menambahkan elemen tak hingga negatif (sering dilambangkan dengan −∞). Operasi utamanya adalah:
a dan b, maka hasil dari operasi "penjumlahan max" antara keduanya adalah nilai maksimum dari a dan b. Dilambangkan dengan simbol seperti ⊕ atau +tropical, sehingga a ⊕ b = max(a, b).a dan b adalah jumlah dari a dan b. Dilambangkan dengan simbol seperti ⊗ atau ·tropical, sehingga a ⊗ b = a + b.
Dengan definisi operasi ini, himpunan bilangan real yang diperluas menjadi sebuah gelanggang (ring) yang disebut gelanggang max plus (max-plus semiring). Sifat-sifat penting dari aljabar max plus meliputi asosiativitas dan komutativitas untuk kedua operasi, serta distributivitas "perkalian plus" terhadap "penjumlahan max". Namun, sifat idempoten dari "penjumlahan max" (a ⊕ a = a) menjadi pembeda utama dibandingkan aljabar klasik.
Meskipun mungkin terlihat abstrak, aljabar max plus memiliki kekuatan luar biasa dalam memodelkan sistem dinamis, penjadwalan, teori graf, dan optimasi. Keunggulannya terletak pada kemampuannya untuk menangani masalah yang melibatkan urutan, penundaan, atau waktu tempuh, di mana operasi penjumlahan dan perkalian standar mungkin tidak mencerminkan realitas masalah tersebut.
Salah satu aplikasi paling terkenal dari aljabar max plus adalah dalam menyelesaikan masalah jalur terpendek pada graf. Jika kita menganggap bobot sisi pada graf sebagai waktu tempuh, maka aljabar max plus dapat digunakan untuk menghitung waktu tempuh minimum antara dua titik dalam jaringan. Matriks yang merepresentasikan bobot sisi dalam graf dapat dioperasikan menggunakan aljabar max plus. Jika A adalah matriks di mana Aij adalah bobot sisi dari simpul i ke simpul j, maka Ak (dalam aljabar max plus) akan memberikan bobot jalur terpendek dengan panjang k sisi. Dengan mengambil pangkat yang cukup tinggi, kita dapat menemukan jalur terpendek secara keseluruhan.
Di luar teori graf, aljabar max plus juga menemukan tempatnya dalam:
Mari kita lihat contoh sederhana untuk memperjelas. Misalkan kita memiliki dua bilangan, 3 dan 5.
3 ⊕ 5 = max(3, 5) = 53 ⊗ 5 = 3 + 5 = 8
Jika kita memiliki elemen matriks, misalnya matriks A dan B. Operasi perkalian matriks dalam aljabar max plus akan menjadi:
(AB)ij = ⊕k (Aik ⊗ Bkj) = ⊕k (Aik + Bkj) = maxk (Aik + Bkj).
Ini menunjukkan bagaimana operasi penjumlahan dan perkalian standar digantikan oleh operasi max dan penjumlahan biasa.
Aljabar max plus mungkin memerlukan sedikit penyesuaian untuk dipahami, tetapi potensinya sangat besar. Dengan mengganti operasi dasar, kita dapat membangun kerangka matematika yang ampuh untuk memodelkan dan memecahkan berbagai masalah komputasi dan matematis, terutama yang melibatkan urutan waktu, penundaan, dan optimasi. Bagi siapa saja yang tertarik pada teori struktur aljabar abstrak dan aplikasinya, aljabar max plus adalah topik yang sangat layak untuk dieksplorasi lebih lanjut.