Aritmatika adalah cabang ilmu matematika tertua yang mempelajari operasi dasar seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Bagi siswa Kelas 7, penguasaan aritmatika adalah kunci untuk memahami konsep matematika yang lebih kompleks, termasuk aljabar dan geometri. Materi kelas 7 akan mendalami bilangan, baik itu bilangan bulat maupun pecahan, serta aplikasinya dalam kehidupan sehari-hari melalui perbandingan dan aritmatika sosial.
Bilangan bulat (Integers) adalah himpunan bilangan yang terdiri dari bilangan bulat positif, nol (0), dan bilangan bulat negatif. Ini adalah konsep fundamental yang harus dikuasai sepenuhnya karena menjadi dasar bagi hampir semua perhitungan matematis lainnya.
Bilangan bulat dapat divisualisasikan menggunakan garis bilangan. Angka nol berada di tengah. Angka positif terletak di sebelah kanan nol, dan nilainya semakin besar jika bergerak ke kanan. Sebaliknya, angka negatif terletak di sebelah kiri nol, dan nilainya semakin kecil (atau semakin negatif) jika bergerak ke kiri.
(Alt: Representasi visual Garis Bilangan Bulat)
Dalam membandingkan dua bilangan bulat, kita menggunakan simbol-simbol perbandingan:
> (Lebih besar dari)< (Lebih kecil dari)= (Sama dengan)Penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat seringkali membingungkan karena melibatkan aturan tanda. Prinsip dasarnya adalah mengubah semua operasi pengurangan menjadi penjumlahan dengan lawan bilangan tersebut.
(-5) + (-3) = -8.10 + (-4) = 10 - 4 = 6. Contoh lain: (-12) + 5. Nilai absolut 12 lebih besar dari 5, dan 12 bertanda negatif, maka 12 - 5 = 7, hasilnya adalah -7.5 - (-3) = 5 + 3 = 8.Hitunglah nilai dari: $$-25 - 15 + (-40) - (-10)$$
Langkah 1: Ubah semua operasi menjadi penjumlahan.
Operasi - (-10) menjadi + 10.
Operasi - 15 adalah + (-15).
Persamaan menjadi: $$-25 + (-15) + (-40) + 10$$
Langkah 2: Kelompokkan bilangan bertanda sama.
Kelompok Negatif: $$-25 + (-15) + (-40) = -(25 + 15 + 40) = -80$$
Kelompok Positif: $$10$$
Langkah 3: Jumlahkan hasil pengelompokan.
$$-80 + 10$$
Menggunakan aturan penjumlahan tanda berbeda: $80 - 10 = 70$. Karena 80 lebih besar dan bertanda negatif, hasilnya adalah $$-70$$.
Aturan tanda pada perkalian dan pembagian adalah sama dan lebih sederhana daripada penjumlahan/pengurangan:
Singkatnya, jika tanda kedua bilangan sama, hasilnya positif. Jika tanda kedua bilangan berbeda, hasilnya negatif.
a) $$8 \times (-6) = -48$$ (Positif $\times$ Negatif = Negatif)
b) $$(-120) : (-10) = 12$$ (Negatif : Negatif = Positif)
c) $$(2 \times (-3)) \times (-5)$$
Hitung dalam kurung: $2 \times (-3) = -6$.
Lalu: $$-6 \times (-5) = 30$$ (Negatif $\times$ Negatif = Positif)
Pengenalan sifat-sifat operasi sangat penting untuk mempermudah perhitungan yang panjang dan meletakkan dasar untuk manipulasi aljabar di kelas berikutnya. Ada tiga sifat utama:
Sifat ini menyatakan bahwa urutan operasi tidak mengubah hasil. Sifat komutatif berlaku untuk penjumlahan dan perkalian, tetapi tidak berlaku untuk pengurangan dan pembagian.
Contoh: $4 + (-7) = -3$, dan $(-7) + 4 = -3$.
Sifat asosiatif menyatakan bahwa cara pengelompokan bilangan tidak mengubah hasil. Sifat ini juga hanya berlaku untuk penjumlahan dan perkalian.
Contoh: $(2 \times 3) \times 4 = 6 \times 4 = 24$. Dan $2 \times (3 \times 4) = 2 \times 12 = 24$.
Sifat distributif menggabungkan perkalian dan penjumlahan/pengurangan. Ini sangat berguna dalam aljabar.
Hitunglah $25 \times 98$ menggunakan sifat distributif.
Kita bisa mengubah 98 menjadi $(100 - 2)$.
$$25 \times (100 - 2) = (25 \times 100) - (25 \times 2)$$
$$2500 - 50 = 2450$$
Penggunaan sifat distributif ini memungkinkan perhitungan yang lebih cepat tanpa kalkulator, terutama jika melibatkan bilangan yang mendekati 10, 100, atau 1000.
Ketika suatu ekspresi matematika melibatkan lebih dari satu jenis operasi, kita harus mengikuti urutan baku yang disebut BODMAS (Brackets, Orders, Division/Multiplication, Addition/Subtraction) atau PEMDAS (Parentheses, Exponents, Multiplication/Division, Addition/Subtraction).
Urutan yang harus diikuti adalah:
Hitunglah: $$100 : (-5) + 3 \times (4 - 10)$$
Langkah 1: Selesaikan operasi dalam kurung.
$$(4 - 10) = -6$$
Persamaan menjadi: $$100 : (-5) + 3 \times (-6)$$
Langkah 2: Selesaikan Perkalian dan Pembagian (dari kiri ke kanan).
Pembagian: $$100 : (-5) = -20$$
Perkalian: $$3 \times (-6) = -18$$
Persamaan menjadi: $$-20 + (-18)$$
Langkah 3: Selesaikan Penjumlahan.
$$-20 + (-18) = -38$$
Bilangan pecahan digunakan untuk merepresentasikan bagian dari keseluruhan. Pecahan terdiri dari pembilang (di atas) dan penyebut (di bawah), di mana penyebut tidak boleh nol.
Pecahan memiliki beberapa bentuk representasi yang berbeda, namun memiliki nilai yang setara:
Siswa Kelas 7 harus mahir mengubah bentuk pecahan dari satu jenis ke jenis lainnya, terutama antara pecahan biasa, desimal, dan persen.
Pecahan Campuran ke Biasa: $2 \frac{3}{4} = \frac{(2 \times 4) + 3}{4} = \frac{8 + 3}{4} = \frac{11}{4}$
Pecahan Biasa ke Desimal: $\frac{3}{8}$. Pembagian: $3 \div 8 = 0.375$.
Desimal ke Persen: $0.375 \times 100\% = 37.5\%$.
Penjumlahan dan pengurangan pecahan hanya dapat dilakukan jika penyebutnya sama. Jika penyebut berbeda, kita harus mencari Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari penyebut tersebut untuk menyamakan penyebut.
Hitunglah: $$\frac{1}{3} + \frac{2}{5} - \frac{1}{6}$$
Langkah 1: Tentukan KPK dari penyebut (3, 5, dan 6).
Faktorisasi prima: $3=3$, $5=5$, $6=2 \times 3$.
KPK = $2 \times 3 \times 5 = 30$.
Langkah 2: Ubah setiap pecahan agar memiliki penyebut 30.
Langkah 3: Lakukan operasi hitung pada pembilang.
$$\frac{10}{30} + \frac{12}{30} - \frac{5}{30} = \frac{10 + 12 - 5}{30} = \frac{17}{30}$$
Karena 17 adalah bilangan prima dan tidak habis dibagi 30, pecahan sudah dalam bentuk paling sederhana.
Perkalian pecahan dilakukan dengan mengalikan pembilang dengan pembilang, dan penyebut dengan penyebut. Penyamaan penyebut tidak diperlukan.
Penting untuk melakukan penyederhanaan (mencoret) silang sebelum mengalikan jika memungkinkan, untuk menghindari perkalian dengan angka yang terlalu besar.
Hitunglah: $$\frac{4}{9} \times \frac{3}{8}$$
Metode 1: Kalikan Langsung
$$\frac{4 \times 3}{9 \times 8} = \frac{12}{72}$$
Sederhanakan (dibagi 12): $$\frac{12 \div 12}{72 \div 12} = \frac{1}{6}$$
Metode 2: Penyederhanaan Silang
Coret 4 dengan 8 (menjadi 1 dan 2). Coret 3 dengan 9 (menjadi 1 dan 3).
$$\frac{4^1}{9_3} \times \frac{3^1}{8_2} = \frac{1 \times 1}{3 \times 2} = \frac{1}{6}$$
Pembagian pecahan diubah menjadi operasi perkalian dengan membalik posisi pembilang dan penyebut pada pecahan pembagi (resiprokal).
Hitunglah: $$2 \frac{1}{2} \div \frac{5}{4}$$
Langkah 1: Ubah pecahan campuran menjadi pecahan biasa.
$$2 \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$$
Langkah 2: Ubah pembagian menjadi perkalian dengan membalik $\frac{5}{4}$ menjadi $\frac{4}{5}$.
$$\frac{5}{2} \times \frac{4}{5}$$
Langkah 3: Sederhanakan silang dan kalikan.
Coret 5 dengan 5 (menjadi 1). Coret 4 dengan 2 (menjadi 2 dan 1).
$$\frac{5^1}{2_1} \times \frac{4^2}{5_1} = \frac{1 \times 2}{1 \times 1} = 2$$
Perhitungan menggunakan desimal seringkali memerlukan pembulatan, terutama jika hasilnya merupakan desimal berulang. Aturan pembulatan yang digunakan di Kelas 7 adalah:
Bulatkan $3.14159$ ke dua tempat desimal.
Angka kedua di belakang koma adalah 4. Angka setelah 4 adalah 1. Karena $1 < 5$, maka angka 4 tetap.
Hasilnya: $$3.14$$
Bulatkan $2.785$ ke dua tempat desimal.
Angka kedua di belakang koma adalah 8. Angka setelah 8 adalah 5. Karena $5 \ge 5$, maka angka 8 dibulatkan ke atas menjadi 9.
Hasilnya: $$2.79$$
Konsep perbandingan adalah aplikasi langsung dari pecahan. Rasio (perbandingan) digunakan untuk menunjukkan hubungan antara dua besaran atau lebih.
Rasio dapat dinyatakan dalam bentuk $a:b$ atau $a/b$. Penting untuk memastikan bahwa unit dari besaran yang dibandingkan sudah sama sebelum melakukan perbandingan.
Bandingkan 600 gram dengan 2 kilogram.
Langkah 1: Samakan unit. Ubah kg ke gram. $2 \text{ kg} = 2000 \text{ gram}$.
Rasio: $$600 : 2000$$
Langkah 2: Sederhanakan rasio. Bagi kedua sisi dengan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB), yaitu 200.
$$600 \div 200 : 2000 \div 200 = 3 : 10$$
Rasio sederhana antara 600 gram dan 2 kg adalah $3:10$.
Dalam aritmatika, terdapat dua jenis perbandingan utama yang sangat sering dijumpai dalam masalah terapan:
Perbandingan senilai terjadi ketika dua besaran berubah ke arah yang sama. Jika satu besaran meningkat, besaran yang lain juga akan meningkat dengan rasio yang konstan. Sebaliknya, jika satu besaran menurun, besaran yang lain juga menurun.
Bentuk umum: $$\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2}$$
Contoh klasik dari perbandingan senilai meliputi: jumlah bensin yang dihabiskan dengan jarak tempuh, atau jumlah barang yang dibeli dengan total harga yang harus dibayar.
Jika harga 5 buah buku tulis adalah Rp 17.500, berapakah harga untuk 12 buah buku tulis yang sama?
Kita tahu: $a_1 = 5$ buku, $b_1 = \text{Rp } 17.500$. Kita mencari $b_2$ ketika $a_2 = 12$ buku.
$$\frac{5}{17500} = \frac{12}{b_2}$$
Lakukan perkalian silang:
$$5 \times b_2 = 12 \times 17500$$
$$5 \times b_2 = 210000$$
$$b_2 = \frac{210000}{5} = 42000$$
Harga 12 buah buku tulis adalah Rp 42.000.
Analisis ini menunjukkan bahwa peningkatan jumlah buku dari 5 menjadi 12 (peningkatan) menyebabkan peningkatan harga total dari Rp 17.500 menjadi Rp 42.000 (peningkatan). Kedua besaran bergerak searah.
Perbandingan berbalik nilai terjadi ketika dua besaran berubah ke arah yang berlawanan. Jika satu besaran meningkat, besaran yang lain akan menurun, dan sebaliknya, dengan hasil kali yang konstan.
Bentuk umum: $$a_1 \times b_1 = a_2 \times b_2$$ atau $$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}$$ (Perhatikan bahwa sisi kanan dibalik)
Contoh klasik dari perbandingan berbalik nilai meliputi: kecepatan kendaraan dengan waktu tempuh (kecepatan naik, waktu turun), atau jumlah pekerja dengan waktu penyelesaian proyek (pekerja naik, waktu turun).
Sebuah proyek pembangunan dapat diselesaikan oleh 15 orang pekerja dalam waktu 24 hari. Jika pemilik proyek ingin agar pekerjaan tersebut selesai dalam waktu 20 hari, berapakah tambahan pekerja yang dibutuhkan?
Kita tahu: $a_1 = 15$ pekerja, $b_1 = 24$ hari. Kita mencari $a_2$ (jumlah pekerja total) untuk $b_2 = 20$ hari.
Gunakan rumus perbandingan berbalik nilai:
$$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}$$
$$\frac{15}{a_2} = \frac{20}{24}$$
Lakukan perkalian silang:
$$20 \times a_2 = 15 \times 24$$
$$20 \times a_2 = 360$$
$$a_2 = \frac{360}{20} = 18$$
Jumlah total pekerja yang dibutuhkan adalah 18 orang.
Menghitung Tambahan Pekerja:
Tambahan pekerja = Total pekerja baru - Pekerja awal
Tambahan = $18 - 15 = 3$ orang.
Diperlukan tambahan 3 orang pekerja agar proyek selesai dalam 20 hari. Terlihat jelas, waktu berkurang (24 ke 20), maka jumlah pekerja harus bertambah (15 ke 18).
Skala adalah bentuk perbandingan yang spesifik, biasanya ditemukan pada peta, denah, atau model. Skala menunjukkan perbandingan antara ukuran pada gambar (peta) dengan ukuran sebenarnya (di lapangan).
Skala umumnya ditulis sebagai $1:n$. Artinya, setiap 1 unit pada gambar mewakili $n$ unit yang sama di dunia nyata.
Sebuah peta memiliki skala $1:400.000$. Jarak antara kota A dan kota B pada peta adalah 8 cm. Berapa jarak sebenarnya dalam kilometer?
Langkah 1: Tentukan jarak sebenarnya.
Jarak Sebenarnya = Jarak Peta $\times$ Penyebut Skala
Jarak Sebenarnya = $8 \text{ cm} \times 400.000$
Jarak Sebenarnya = $3.200.000 \text{ cm}$
Langkah 2: Konversi ke kilometer.
Kita tahu $1 \text{ km} = 100.000 \text{ cm}$.
Jarak Sebenarnya = $\frac{3.200.000}{100.000} \text{ km} = 32 \text{ km}$
Jarak sebenarnya antara kota A dan B adalah 32 kilometer.
Jika pada peta lain, jarak sebenarnya 60 km, dan jarak pada peta adalah 15 cm. Berapakah skalanya?
Langkah 1: Samakan unit (ubah 60 km ke cm).
$60 \text{ km} = 6.000.000 \text{ cm}$.
Langkah 2: Hitung skala.
Skala = $\frac{15 \text{ cm}}{6.000.000 \text{ cm}}$
Sederhanakan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan 15:
$$\frac{15 \div 15}{6.000.000 \div 15} = \frac{1}{400.000}$$
Skala peta tersebut adalah $1:400.000$.
Aritmatika sosial adalah penerapan konsep hitungan dasar, pecahan, dan persentase dalam konteks perdagangan dan keuangan sehari-hari. Materi ini mencakup untung rugi, diskon, bunga, serta konsep bruto, neto, dan tara.
Harga Beli (HB) adalah modal atau harga awal barang. Harga Jual (HJ) adalah harga saat barang dijual.
Untung (Profit): Terjadi jika Harga Jual lebih besar dari Harga Beli ($\text{HJ} > \text{HB}$).
$$\text{Untung} = \text{HJ} - \text{HB}$$
Rugi (Loss): Terjadi jika Harga Jual lebih kecil dari Harga Beli ($\text{HJ} < \text{HB}$).
$$\text{Rugi} = \text{HB} - \text{HJ}$$
Persentase keuntungan atau kerugian selalu dihitung berdasarkan Harga Beli (modal awal).
Seorang pedagang membeli 50 kg beras seharga Rp 550.000. Setelah diperiksa, 5 kg beras ternyata rusak. Sisa beras yang bagus dijual seharga Rp 12.000 per kg.
Langkah 1: Hitung Harga Beli Total (HB).
HB = Rp 550.000.
Langkah 2: Hitung total beras yang dijual.
Total dijual = $50 \text{ kg} - 5 \text{ kg} = 45 \text{ kg}$.
Langkah 3: Hitung Harga Jual Total (HJ).
HJ = $45 \text{ kg} \times \text{Rp } 12.000/\text{kg} = \text{Rp } 540.000$.
Langkah 4: Tentukan Untung atau Rugi.
Karena $\text{HJ} (\text{Rp } 540.000) < \text{HB} (\text{Rp } 550.000)$, pedagang mengalami Rugi.
Rugi = $\text{HB} - \text{HJ} = \text{Rp } 550.000 - \text{Rp } 540.000 = \text{Rp } 10.000$.
Langkah 5: Hitung Persentase Rugi.
$$\% \text{ Rugi} = \frac{10.000}{550.000} \times 100\%$$
$$\% \text{ Rugi} = \frac{1}{55} \times 100\% \approx 1.82\%$$
Pedagang tersebut mengalami kerugian sekitar 1.82%.
Diskon adalah potongan harga yang diberikan kepada pembeli. Pajak (misalnya PPN) adalah sejumlah uang yang ditambahkan ke harga jual.
Diskon: Diskon selalu mengurangi harga beli. Jika diskon $D\%$ diberikan pada harga awal $H$, maka:
$$\text{Besar Diskon} = \frac{D}{100} \times H$$ $$\text{Harga Akhir} = H - \text{Besar Diskon}$$Pajak: Pajak selalu menambah harga. Jika pajak $P\%$ dikenakan pada harga awal $H$, maka:
$$\text{Besar Pajak} = \frac{P}{100} \times H$$ $$\text{Harga Akhir} = H + \text{Besar Pajak}$$Perhitungan yang melibatkan diskon ganda sering muncul dalam soal Kelas 7.
Harga jaket di sebuah toko adalah Rp 400.000. Toko memberikan diskon '30% + 10%'. Berapakah harga yang harus dibayar?
CATATAN PENTING: Diskon ganda (30% + 10%) bukan berarti diskon total 40%. Diskon 10% dihitung dari harga setelah diskon pertama.
Langkah 1: Hitung Diskon Pertama (30%).
Besar Diskon 1 = $30\% \times 400.000 = \text{Rp } 120.000$.
Harga Setelah Diskon 1 = $400.000 - 120.000 = \text{Rp } 280.000$.
Langkah 2: Hitung Diskon Kedua (10%) dari Harga Setelah Diskon 1.
Besar Diskon 2 = $10\% \times 280.000 = \text{Rp } 28.000$.
Langkah 3: Hitung Harga Akhir.
Harga Akhir = $280.000 - 28.000 = \text{Rp } 252.000$.
Total diskon yang diterima sebenarnya adalah $120.000 + 28.000 = 148.000$, atau 37% dari harga awal.
Bunga tunggal (simple interest) adalah bunga yang dihitung hanya dari modal awal (pokok pinjaman atau tabungan) dan tidak berubah sepanjang periode waktu. Bunga tunggal umum digunakan untuk tabungan atau pinjaman jangka pendek.
Rumus Bunga Tunggal (dalam tahun):
$$\text{Bunga} = M \times p\% \times t$$Di mana:
Dalam soal aritmatika sosial, waktu $(t)$ seringkali dinyatakan dalam bulan atau hari. Kita perlu mengubah waktu tersebut menjadi bentuk pecahan tahun.
Pak Rahmat menabung uang sebesar Rp 1.200.000 di bank yang memberikan bunga tunggal 15% per tahun. Hitunglah total uang Pak Rahmat setelah menabung selama 8 bulan.
Langkah 1: Hitung Bunga yang didapatkan.
Modal ($M$) = Rp 1.200.000
Persen Bunga ($p\%$) = 15% = $15/100$
Waktu (bulan) = 8 bulan
$$\text{Bunga} = M \times p\% \times \frac{\text{bulan}}{12}$$ $$\text{Bunga} = 1.200.000 \times \frac{15}{100} \times \frac{8}{12}$$Sederhanakan pecahan $\frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ dan $\frac{15}{100} = \frac{3}{20}$.
$$\text{Bunga} = 1.200.000 \times \frac{3}{20} \times \frac{2}{3}$$Kita dapat mencoret silang (3 dengan 3):
$$\text{Bunga} = 1.200.000 \times \frac{1}{20} \times 2$$ $$\text{Bunga} = 1.200.000 \times \frac{2}{20} = 1.200.000 \times \frac{1}{10}$$ $$\text{Bunga} = 120.000$$Bunga yang didapat setelah 8 bulan adalah Rp 120.000.
Langkah 2: Hitung Total Tabungan Akhir.
Total = Modal + Bunga
Total = $1.200.000 + 120.000 = \text{Rp } 1.320.000$.
Total uang Pak Rahmat setelah 8 bulan adalah Rp 1.320.000.
Seringkali, soal aritmatika sosial meminta kita mencari modal awal atau lamanya menabung jika bunga yang diperoleh sudah diketahui.
Sinta menabung sebesar Rp 800.000 di bank dengan bunga 9% per tahun. Jika saat mengambil, uang Sinta menjadi Rp 860.000, berapa lama Sinta menabung?
Langkah 1: Hitung total bunga yang diperoleh.
Bunga = $860.000 - 800.000 = \text{Rp } 60.000$.
Langkah 2: Gunakan rumus bunga untuk mencari waktu ($t$).
$$\text{Bunga} = M \times p\% \times \frac{t}{12}$$ $$60.000 = 800.000 \times \frac{9}{100} \times \frac{t}{12}$$Sederhanakan angka di sisi kanan:
$$800.000 \times \frac{9}{100} = 8.000 \times 9 = 72.000$$Persamaan menjadi:
$$60.000 = 72.000 \times \frac{t}{12}$$Pindahkan 72.000 ke sisi kiri:
$$\frac{60.000}{72.000} = \frac{t}{12}$$ $$\frac{6}{7.2} = \frac{t}{12}$$Sederhanakan $\frac{60}{72}$ menjadi $\frac{5}{6}$ (dibagi 12):
$$\frac{5}{6} = \frac{t}{12}$$$$t = \frac{5}{6} \times 12$$
$$t = 5 \times 2 = 10$$
Sinta menabung selama 10 bulan.
Dalam konteks pengemasan atau penjualan barang dengan wadah, ada tiga istilah penting yang digunakan untuk menggambarkan berat:
Bruto: Berat kotor. Berat total barang beserta wadah/bungkusnya.
Tara: Berat wadah (bungkus) saja.
Neto: Berat bersih. Berat isi barang tanpa wadah.
Tara seringkali dinyatakan dalam persentase dari bruto. Rumusnya adalah:
$$\text{Tara (kg)} = \% \text{Tara} \times \text{Bruto}$$Sebanyak 5 karung gula pasir memiliki berat kotor (bruto) total 250 kg. Diketahui persentase tara adalah 2%. Jika harga beli gula pasir tersebut (neto) adalah Rp 12.000 per kg, hitunglah total uang yang harus dibayarkan.
Langkah 1: Hitung berat Tara total.
Bruto total = 250 kg
$$\text{Tara} = 2\% \times \text{Bruto}$$
$$\text{Tara} = \frac{2}{100} \times 250 \text{ kg} = 5 \text{ kg}$$Langkah 2: Hitung berat Neto total.
$$\text{Neto} = \text{Bruto} - \text{Tara}$$ $$\text{Neto} = 250 \text{ kg} - 5 \text{ kg} = 245 \text{ kg}$$Langkah 3: Hitung total Harga Beli (didasarkan pada Neto).
Harga Beli = Neto $\times$ Harga per kg
Harga Beli = $245 \times \text{Rp } 12.000$
$$245 \times 12.000 = 2.940.000$$
Total uang yang harus dibayarkan untuk membeli 5 karung gula tersebut adalah Rp 2.940.000.
Variasi Soal: Jika pedagang tersebut ingin mendapatkan untung 10% dari total pembelian tersebut, berapakah harga jual per kg Neto yang harus ditetapkan?
Langkah 4: Hitung keuntungan yang diinginkan.
Untung = $10\% \times \text{HB}$
$$\text{Untung} = \frac{10}{100} \times 2.940.000 = \text{Rp } 294.000$$Langkah 5: Hitung total Harga Jual (HJ).
$$\text{HJ total} = 2.940.000 + 294.000 = \text{Rp } 3.234.000$$Langkah 6: Hitung Harga Jual per kg Neto.
$$\text{HJ per kg} = \frac{\text{HJ total}}{\text{Neto}}$$ $$\text{HJ per kg} = \frac{3.234.000}{245} = \text{Rp } 13.200$$Pedagang harus menjual gula tersebut seharga Rp 13.200 per kg neto untuk mendapatkan keuntungan 10%.
Aritmatika tingkat lanjut di Kelas 7 seringkali menggabungkan semua konsep di atas dalam satu skenario. Ini memerlukan ketelitian dalam mengikuti urutan operasi dan konversi antar bentuk bilangan.
Ketika bilangan bulat, desimal, dan pecahan digabungkan dalam satu soal, langkah terbaik adalah mengubah semua bilangan ke dalam satu bentuk yang sama, biasanya pecahan atau desimal, sebelum memulai perhitungan.
Hitunglah nilai dari ekspresi: $$1.25 + 3 \frac{1}{4} \times (-4) - \frac{1}{5}$$
Langkah 1: Konversi semua bilangan ke bentuk pecahan biasa.
Ekspresi baru: $$\frac{5}{4} + \frac{13}{4} \times (\frac{-4}{1}) - \frac{1}{5}$$
Langkah 2: Selesaikan Perkalian (Urutan Operasi).
$$\frac{13}{4} \times \frac{-4}{1}$$Coret 4 dengan 4 (menjadi 1): $$13 \times (-1) = -13$$
Ekspresi sekarang: $$\frac{5}{4} + (-13) - \frac{1}{5}$$
Langkah 3: Samakan Penyebut untuk Penjumlahan/Pengurangan.
Penyebut yang ada adalah 4, 1 (untuk -13), dan 5. KPK dari 4 dan 5 adalah 20.
Langkah 4: Lakukan Penjumlahan dan Pengurangan.
$$\frac{25}{20} + \frac{-260}{20} - \frac{4}{20}$$ $$\frac{25 - 260 - 4}{20} = \frac{25 - 264}{20}$$ $$\frac{-239}{20}$$Langkah 5: Konversi ke pecahan campuran (jika diminta).
$$\frac{-239}{20} = -11 \frac{19}{20}$$Hasil akhirnya adalah $-11 \frac{19}{20}$ (atau $-11.95$ dalam desimal).
Dalam kehidupan sehari-hari, pembagian aset, warisan, atau hadiah seringkali didasarkan pada rasio yang telah ditentukan.
Jumlah kelereng milik Anton, Budi, dan Candra adalah 180 butir. Rasio kelereng mereka adalah $A:B:C = 2:3:4$. Berapakah selisih kelereng antara Candra dan Anton?
Langkah 1: Hitung total bagian rasio.
Total Bagian = $2 + 3 + 4 = 9$ bagian.
Langkah 2: Tentukan nilai per bagian.
$$\text{Nilai per bagian} = \frac{\text{Total Kelereng}}{\text{Total Bagian}}$$ $$\text{Nilai per bagian} = \frac{180}{9} = 20 \text{ butir}$$Langkah 3: Hitung jumlah kelereng Candra dan Anton.
Kelereng Candra (4 bagian): $$4 \times 20 = 80 \text{ butir}$$
Kelereng Anton (2 bagian): $$2 \times 20 = 40 \text{ butir}$$
Langkah 4: Hitung selisih.
$$\text{Selisih} = 80 - 40 = 40 \text{ butir}$$Metode Alternatif (Menggunakan Selisih Rasio):
Selisih Bagian Candra dan Anton = $4 - 2 = 2$ bagian.
$$\text{Selisih Kelereng} = \text{Selisih Bagian} \times \text{Nilai per bagian}$$ $$\text{Selisih Kelereng} = 2 \times 20 = 40 \text{ butir}$$Kedua metode memberikan hasil yang sama, namun metode kedua lebih efisien jika yang ditanyakan hanya selisihnya.
Soal terapan yang paling menantang adalah yang menggabungkan konsep persentase keuntungan, diskon, dan bunga dalam rangkaian langkah-langkah yang logis.
Seorang pemilik toko elektronik membeli 10 unit televisi dengan total harga Rp 15.000.000. Toko menetapkan target keuntungan 20% untuk setiap unit. Setelah beberapa bulan, toko memberikan diskon 15% untuk menarik pembeli, dan pembeli harus membayar PPN (Pajak Pertambahan Nilai) sebesar 10% dari harga setelah diskon. Hitunglah total harga jual akhir per unit TV.
Langkah 1: Hitung Harga Beli per Unit (HB).
$$\text{HB per unit} = \frac{15.000.000}{10} = \text{Rp } 1.500.000$$Langkah 2: Hitung Harga Jual Normal (HJ) untuk mencapai untung 20%.
$$\text{Target Untung} = 20\% \times 1.500.000 = \text{Rp } 300.000$$ $$\text{HJ Normal} = 1.500.000 + 300.000 = \text{Rp } 1.800.000$$Langkah 3: Terapkan Diskon 15% pada HJ Normal.
$$\text{Besar Diskon} = 15\% \times 1.800.000 = \text{Rp } 270.000$$ $$\text{Harga Setelah Diskon} = 1.800.000 - 270.000 = \text{Rp } 1.530.000$$Langkah 4: Terapkan PPN 10% pada Harga Setelah Diskon.
PPN dihitung dari Rp 1.530.000.
$$\text{Besar PPN} = 10\% \times 1.530.000 = \text{Rp } 153.000$$Langkah 5: Hitung Harga Jual Akhir (Termasuk PPN).
$$\text{HJ Akhir} = \text{Harga Setelah Diskon} + \text{PPN}$$ $$\text{HJ Akhir} = 1.530.000 + 153.000 = \text{Rp } 1.683.000$$Harga jual akhir yang harus dibayar oleh pembeli per unit televisi adalah Rp 1.683.000.
Analisis Keuntungan Bersih Toko:
Pendapatan Toko per Unit (setelah diskon, sebelum PPN diserahkan ke negara) adalah Rp 1.530.000.
Keuntungan = Pendapatan Toko - Harga Beli Awal
Keuntungan = $1.530.000 - 1.500.000 = \text{Rp } 30.000$
Meskipun target keuntungan adalah 20%, karena diskon yang besar, keuntungan yang diperoleh toko turun drastis menjadi hanya Rp 30.000, atau $2\%$ dari harga beli awal. Analisis ini menunjukkan pentingnya perhitungan yang cermat dalam menetapkan kebijakan diskon.
Meskipun Aljabar adalah bab tersendiri di Kelas 7, pemahaman aritmatika yang kuat sangat diperlukan untuk menguasai konsep dasar aljabar, seperti menyederhanakan dan menggabungkan suku-suku sejenis. Pada dasarnya, aljabar hanyalah aritmatika yang menggunakan variabel (huruf) untuk mewakili bilangan yang belum diketahui.
Operasi dasar Aljabar yang terkait erat dengan aritmatika:
Hanya suku-suku yang memiliki variabel dan pangkat yang sama yang dapat dijumlahkan atau dikurangkan (koefisiennya dijumlahkan/dikurangkan).
Kelompokkan suku sejenis: $$(5x + 2x) + (-3y + 7y)$$
Selesaikan: $$7x + 4y$$
Ini adalah aplikasi langsung dari sifat distributif bilangan bulat yang telah dibahas sebelumnya.
Distribusi: $$(4 \times 2a) + (4 \times -5)$$
Selesaikan: $$8a - 20$$
Penguasaan sifat komutatif, asosiatif, dan distributif pada bilangan bulat adalah prasyarat mutlak untuk berhasil dalam manipulasi bentuk aljabar. Tanpa pemahaman mendalam tentang bagaimana bilangan negatif berinteraksi dalam perkalian dan penjumlahan, kesalahan dalam aljabar akan sering terjadi.
***
Secara keseluruhan, aritmatika Kelas 7 tidak hanya berkutat pada perhitungan, tetapi juga membangun pemikiran logis dan kemampuan analisis masalah. Kunci keberhasilan dalam materi ini adalah konsistensi dalam latihan, pemahaman mendalam terhadap aturan tanda, dan ketelitian saat melakukan konversi antar jenis bilangan (pecahan, desimal, persen).