Barisan aritmatika merupakan salah satu fondasi utama dalam studi matematika, khususnya dalam aljabar dan kalkulus. Konsep ini tidak hanya terbatas pada angka-angka abstrak, tetapi juga meresap dalam berbagai fenomena kehidupan sehari-hari, mulai dari perhitungan bunga sederhana, pertumbuhan populasi yang teratur, hingga pola desain arsitektur. Memahami secara mendalam mengenai barisan aritmatika adalah kunci untuk membuka pintu menuju pemecahan masalah yang melibatkan pola linear atau perubahan yang konstan.
Artikel ini dirancang sebagai panduan lengkap dan mendalam mengenai Barisan Aritmatika, yang akan membahas segala aspek, mulai dari definisi fundamental, penurunan rumus, teknik pemecahan masalah tingkat lanjut, hingga implementasi praktis dalam berbagai disiplin ilmu.
Barisan aritmatika (sering juga disebut progresi aritmatika) adalah suatu susunan bilangan yang suku-sukunya diperoleh dari suku sebelumnya dengan menambahkan atau mengurangi suatu bilangan konstan. Bilangan konstan inilah yang menjadi ciri khas dan pembeda utama barisan ini.
Sebuah barisan $U_1, U_2, U_3, \dots, U_n$ disebut barisan aritmatika jika selisih antara dua suku yang berurutan selalu tetap (konstan). Selisih konstan ini disebut beda, dilambangkan dengan $b$ (atau $d$, dari difference).
Secara matematis, beda $b$ didefinisikan sebagai:
Di mana $U_n$ adalah suku ke-n dan $U_{n-1}$ adalah suku sebelum suku ke-n.
Ada dua elemen fundamental yang harus dikenali dalam setiap barisan aritmatika:
Sebagai contoh, perhatikan barisan $3, 7, 11, 15, 19, \dots$
Karena bedanya selalu $4$, barisan ini adalah barisan aritmatika.
Ilustrasi visual: Setiap suku didapatkan dari suku sebelumnya ditambah beda (b) yang konstan.
Salah satu tujuan utama mempelajari barisan aritmatika adalah kemampuan untuk menentukan suku ke-n, bahkan jika $n$ bernilai sangat besar, tanpa harus menghitung seluruh suku secara manual. Ini dimungkinkan melalui rumus umum yang diturunkan berdasarkan pola pertambahan yang konstan.
Mari kita lihat bagaimana suku-suku barisan terbentuk, dimulai dari suku pertama $a$:
Dari pola di atas, kita dapat mengamati bahwa jumlah penambahan beda ($b$) selalu satu kurang dari nomor sukunya ($n$). Oleh karena itu, kita mendapatkan rumus umum untuk suku ke-n:
Di mana:
Diberikan barisan aritmatika $5, 12, 19, 26, \dots$ Tentukan suku ke-50 ($U_{50}$).
Langkah 1: Identifikasi variabel.
Langkah 2: Substitusikan ke rumus.
$$U_n = a + (n-1)b$$ $$U_{50} = 5 + (50 - 1)7$$ $$U_{50} = 5 + (49)7$$ $$U_{50} = 5 + 343$$ $$U_{50} = 348$$Jadi, suku ke-50 dari barisan tersebut adalah 348.
Seringkali, masalah yang diberikan tidak langsung memberikan suku pertama ($a$) dan beda ($b$). Kita mungkin harus menggunakan sistem persamaan linear dua variabel untuk menemukan $a$ dan $b$ terlebih dahulu.
Diketahui suku ke-4 ($U_4$) barisan aritmatika adalah 19, dan suku ke-10 ($U_{10}$) adalah 49. Tentukan suku ke-20 ($U_{20}$).
Langkah 1: Buat dua persamaan linear.
Dari $U_4 = 19$:
$$a + (4-1)b = 19 \implies a + 3b = 19 \quad (\text{Persamaan 1})$$Dari $U_{10} = 49$:
$$a + (10-1)b = 49 \implies a + 9b = 49 \quad (\text{Persamaan 2})$$Langkah 2: Eliminasi $a$ untuk mencari $b$.
$$\begin{aligned} & (a + 9b) - (a + 3b) = 49 - 19 \\ & 6b = 30 \\ & b = 5 \end{aligned}$$Langkah 3: Substitusikan $b=5$ ke Persamaan 1 untuk mencari $a$.
$$a + 3(5) = 19$$ $$a + 15 = 19$$ $$a = 4$$Langkah 4: Hitung $U_{20}$.
Dengan $a=4$, $b=5$, dan $n=20$:
$$U_{20} = a + (20-1)b$$ $$U_{20} = 4 + (19)5$$ $$U_{20} = 4 + 95$$ $$U_{20} = 99$$Suku ke-20 adalah 99.
Jika suku-suku dalam barisan aritmatika dijumlahkan, hasilnya disebut Deret Aritmatika. Deret ini dilambangkan dengan $S_n$, yang merupakan penjumlahan dari suku pertama hingga suku ke-n.
$$S_n = U_1 + U_2 + U_3 + \dots + U_n$$Penemuan rumus jumlah deret aritmatika ini sering dikaitkan dengan matematikawan besar Carl Friedrich Gauss ketika ia masih kanak-kanak. Guru Gauss memintanya menjumlahkan bilangan 1 hingga 100 untuk menyibukkan siswa, tetapi Gauss menemukan jawabannya dalam waktu singkat.
Misalkan kita ingin menjumlahkan $S_n$: $$S_n = a + (a+b) + (a+2b) + \dots + (U_n - b) + U_n \quad \text{(Persamaan A)}$$ Kita tulis kembali deret tersebut dalam urutan terbalik: $$S_n = U_n + (U_n - b) + (U_n - 2b) + \dots + (a+b) + a \quad \text{(Persamaan B)}$$
Sekarang, jumlahkan Persamaan A dan Persamaan B secara suku demi suku:
$$\begin{aligned} S_n + S_n &= (a + U_n) + ((a+b) + (U_n-b)) + ((a+2b) + (U_n-2b)) + \dots + (U_n + a) \\ 2S_n &= (a + U_n) + (a + U_n) + (a + U_n) + \dots + (a + U_n) \end{aligned}$$Karena terdapat $n$ suku dalam barisan, maka terdapat $n$ kali penjumlahan $(a + U_n)$.
$$2S_n = n (a + U_n)$$Sehingga, rumus jumlah $n$ suku pertama adalah:
Kita dapat memasukkan kembali rumus $U_n = a + (n-1)b$ ke dalam rumus $S_n$ di atas untuk mendapatkan rumus yang hanya bergantung pada $a$ dan $b$:
$$S_n = \frac{n}{2} (a + [a + (n-1)b])$$Konsep Gauss: Menjumlahkan suku pertama dan suku terakhir, lalu mengalikan dengan setengah jumlah suku.
Tentukan jumlah dari 25 suku pertama deret aritmatika di mana suku pertama adalah 10 dan bedanya adalah 3.
Langkah 1: Identifikasi variabel.
Langkah 2: Gunakan Rumus Bentuk 2.
$$S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)b]$$ $$S_{25} = \frac{25}{2} [2(10) + (25-1)3]$$ $$S_{25} = \frac{25}{2} [20 + (24)3]$$ $$S_{25} = \frac{25}{2} [20 + 72]$$ $$S_{25} = \frac{25}{2} (92)$$ $$S_{25} = 25 \times 46$$ $$S_{25} = 1150$$Jumlah 25 suku pertama adalah 1150.
Pemahaman yang lebih dalam memerlukan analisis hubungan antara $U_n$, $S_n$, dan $n$. Hubungan ini memungkinkan kita untuk memecahkan masalah yang melibatkan transisi antara barisan dan deret.
Secara definisi, suku ke-n dapat ditemukan dengan mengurangi jumlah $n$ suku pertama dengan jumlah $n-1$ suku pertama.
Hubungan ini sangat penting ketika soal hanya memberikan rumus umum untuk $S_n$ (dalam bentuk fungsi kuadratik terhadap $n$) dan kita diminta mencari suku ke-n atau bedanya.
Jumlah $n$ suku pertama dari sebuah deret aritmatika diberikan oleh rumus $S_n = 3n^2 + 5n$. Tentukan suku ke-8 ($U_8$) dan bedanya ($b$).
Langkah 1: Hitung $S_8$ dan $S_7$.
$$S_8 = 3(8)^2 + 5(8) = 3(64) + 40 = 192 + 40 = 232$$ $$S_7 = 3(7)^2 + 5(7) = 3(49) + 35 = 147 + 35 = 182$$Langkah 2: Hitung $U_8$.
$$U_8 = S_8 - S_7 = 232 - 182 = 50$$Langkah 3: Tentukan suku pertama ($a=U_1$).
Ingat, $S_1 = U_1 = a$.
$$a = S_1 = 3(1)^2 + 5(1) = 3 + 5 = 8$$Langkah 4: Hitung $U_2$ untuk mencari beda ($b$).
$$S_2 = 3(2)^2 + 5(2) = 3(4) + 10 = 12 + 10 = 22$$ $$U_2 = S_2 - S_1 = 22 - 8 = 14$$Langkah 5: Hitung beda ($b$).
$$b = U_2 - U_1 = 14 - 8 = 6$$Suku ke-8 adalah 50 dan bedanya adalah 6.
Jika suatu barisan aritmatika memiliki jumlah suku ganjil, terdapat satu suku tengah ($U_t$). Suku tengah ini memiliki sifat yang sangat unik, yaitu merupakan rata-rata dari suku pertama dan suku terakhir, atau rata-rata dari dua suku lain yang posisinya simetris dari tengah.
Jika barisan terdiri dari $n$ suku (di mana $n$ ganjil), maka posisi suku tengah $t$ adalah:
$$t = \frac{n+1}{2}$$Sebuah barisan aritmatika memiliki suku pertama 7 dan suku terakhir 43. Jika total suku dalam barisan tersebut adalah 9, tentukan suku tengahnya.
Langkah 1: Identifikasi variabel.
$$a = 7, \quad U_n = 43, \quad n=9$$Langkah 2: Hitung posisi suku tengah.
$$t = \frac{9+1}{2} = 5$$Suku tengah adalah $U_5$.
Langkah 3: Hitung nilai suku tengah.
$$U_5 = \frac{7 + 43}{2} = \frac{50}{2} = 25$$Suku tengah barisan tersebut adalah 25.
Sisipan (interpolasi) adalah proses menyisipkan sejumlah bilangan antara dua suku yang berurutan dalam suatu barisan aritmatika, sehingga membentuk barisan aritmatika baru dengan beda yang lebih kecil.
Misalkan kita memiliki dua suku berurutan $x$ dan $y$ dengan beda $b_{\text{lama}}$. Jika disisipkan $k$ bilangan di antara $x$ dan $y$, maka barisan baru akan memiliki beda $b_{\text{baru}}$.
Jarak antara $x$ dan $y$ adalah $y - x$. Dalam barisan baru, jarak ini ditempuh dalam $k+1$ langkah. Jadi, beda baru adalah:
Dalam barisan aritmatika $5, 20, 35, \dots$, disisipkan 4 bilangan baru di antara setiap dua suku yang berurutan. Tentukan beda barisan aritmatika yang baru dan suku ke-7 dari barisan baru.
Langkah 1: Identifikasi beda lama ($b_{\text{lama}}$) dan jumlah sisipan ($k$).
$$x=5, y=20. \quad b_{\text{lama}} = 20 - 5 = 15$$ $$k = 4$$Langkah 2: Hitung beda baru ($b_{\text{baru}}$).
$$b_{\text{baru}} = \frac{15}{4 + 1} = \frac{15}{5} = 3$$Beda barisan baru adalah 3. Barisan baru dimulai dengan: $5, 8, 11, 14, 17, 20, \dots$
Langkah 3: Tentukan suku ke-7 ($U_7$) dari barisan baru.
$a_{\text{baru}} = 5$, $b_{\text{baru}} = 3$, $n=7$
$$U_7 = a + (7-1)b$$ $$U_7 = 5 + 6(3)$$ $$U_7 = 5 + 18 = 23$$Suku ke-7 dari barisan baru adalah 23.
Secara fundamental, barisan aritmatika adalah representasi diskret (terputus-putus) dari fungsi linear. Jika kita memandang $n$ sebagai variabel independen dan $U_n$ sebagai variabel dependen, maka rumus suku ke-n dapat diubah menjadi bentuk fungsi linear:
$$U_n = a + (n-1)b$$ $$U_n = bn + (a - b)$$Jika kita definisikan $U_n = f(n)$ dan $C = a - b$, maka kita mendapatkan:
$$f(n) = bn + C$$Ini adalah bentuk umum fungsi linear $y = mx + c$, di mana beda ($b$) berfungsi sebagai gradien (kemiringan). Karena gradiennya konstan, pertambahan antar suku selalu sama, menciptakan garis lurus jika digambarkan dalam koordinat kartesius.
Dalam grafik, sumbu horizontal mewakili posisi suku ($n$) dan sumbu vertikal mewakili nilai suku ($U_n$). Karena barisan aritmatika hanya terdefinisi untuk bilangan bulat positif ($n \ge 1$), grafik barisan aritmatika terdiri dari serangkaian titik yang segaris lurus, bukan garis kontinu.
Karena $U_n$ adalah fungsi linear terhadap $n$, ketika kita menjumlahkannya ($S_n$), kita melakukan operasi yang analog dengan integral dalam kalkulus. Oleh karena itu, $S_n$ akan selalu menjadi fungsi kuadratik terhadap $n$:
$$S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)b]$$ $$S_n = \frac{n}{2} [2a + bn - b]$$ $$S_n = \left(\frac{b}{2}\right) n^2 + \left(a - \frac{b}{2}\right) n$$Ini menjelaskan mengapa dalam Contoh 4, rumus $S_n$ yang diberikan ($3n^2 + 5n$) merupakan polinomial berderajat dua dalam variabel $n$. Koefisien dari $n^2$ selalu setengah dari beda $\left(\frac{b}{2}\right)$.
Sebuah deret aritmatika memiliki rumus jumlah $S_n = 5n^2 - 2n$. Tentukan beda ($b$) barisan tersebut.
Bandingkan rumus yang diberikan dengan bentuk umum: $S_n = \left(\frac{b}{2}\right) n^2 + \left(a - \frac{b}{2}\right) n$.
Koefisien $n^2$ adalah 5.
$$\frac{b}{2} = 5$$ $$b = 10$$Beda barisan tersebut adalah 10.
Pemahaman pola pertumbuhan linear sangat krusial di berbagai bidang. Berikut adalah beberapa aplikasi penting dari barisan aritmatika.
Dalam keuangan, Barisan Aritmatika sering muncul dalam konteks yang melibatkan pertambahan atau pengurangan jumlah yang konstan.
Seorang karyawan menabung pada bulan pertama Rp50.000, bulan kedua Rp65.000, bulan ketiga Rp80.000, dan seterusnya. Jika pertambahan tabungan per bulan konstan, berapa total tabungan karyawan setelah 2 tahun (24 bulan)?
Langkah 1: Tentukan $a$, $b$, dan $n$.
$$a = 50.000$$ $$b = 65.000 - 50.000 = 15.000$$ $$n = 24$$Langkah 2: Hitung $S_{24}$.
$$S_{24} = \frac{24}{2} [2(50.000) + (24-1)15.000]$$ $$S_{24} = 12 [100.000 + (23)15.000]$$ $$S_{24} = 12 [100.000 + 345.000]$$ $$S_{24} = 12 [445.000]$$ $$S_{24} = 5.340.000$$Total tabungan karyawan setelah 2 tahun adalah Rp5.340.000.
Konsep barisan aritmatika sangat terkait erat dengan Gerak Lurus Berubah Beraturan (GLBB) di fisika, khususnya ketika membahas kecepatan dan jarak tempuh pada interval waktu yang seragam.
Pola linear digunakan untuk menciptakan keteraturan dan harmoni dalam desain. Misalnya:
Untuk mencapai penguasaan konsep, kita perlu membahas berbagai skenario soal, termasuk yang melibatkan jumlah suku genap, suku yang hilang, atau soal cerita yang membutuhkan interpretasi data.
Tiga bilangan membentuk barisan aritmatika. Jika jumlah ketiga bilangan tersebut adalah 45 dan hasil kali bilangan pertama dan bilangan ketiga adalah 209, tentukan ketiga bilangan tersebut.
Langkah 1: Representasikan suku-suku.
Ketika berhadapan dengan tiga suku aritmatika yang jumlahnya diketahui, lebih mudah memisalkan suku-suku sebagai: $U_1 = a - b$, $U_2 = a$, $U_3 = a + b$.
Langkah 2: Gunakan informasi jumlah.
$$(a - b) + a + (a + b) = 45$$ $$3a = 45$$ $$a = 15$$Suku tengah ($U_2$) adalah 15.
Langkah 3: Gunakan informasi perkalian.
Hasil kali bilangan pertama dan ketiga adalah 209:
$$U_1 \times U_3 = 209$$ $$(a - b)(a + b) = 209$$Gunakan selisih kuadrat: $a^2 - b^2 = 209$.
Substitusikan $a=15$:
$$15^2 - b^2 = 209$$ $$225 - b^2 = 209$$ $$b^2 = 225 - 209$$ $$b^2 = 16$$ $$b = \pm 4$$Langkah 4: Tentukan ketiga bilangan.
Jika $b=4$: $U_1 = 15 - 4 = 11$. $U_2 = 15$. $U_3 = 15 + 4 = 19$. Barisan: $11, 15, 19$.
Jika $b=-4$: $U_1 = 15 - (-4) = 19$. $U_2 = 15$. $U_3 = 15 + (-4) = 11$. Barisan: $19, 15, 11$.
Kedua barisan tersebut benar.
Dalam beberapa kasus, kita tahu suku pertama, beda, dan jumlah total deret ($S_n$), tetapi kita harus mencari berapa banyak suku ($n$) yang dijumlahkan. Ini akan melibatkan penyelesaian persamaan kuadratik dalam $n$.
Tentukan banyaknya suku dalam deret aritmatika $1, 4, 7, 10, \dots$ yang jumlahnya mencapai 645.
Langkah 1: Identifikasi variabel.
$$a = 1$$ $$b = 4 - 1 = 3$$ $$S_n = 645$$Langkah 2: Substitusikan ke rumus $S_n$.
$$S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)b]$$ $$645 = \frac{n}{2} [2(1) + (n-1)3]$$ $$1290 = n [2 + 3n - 3]$$ $$1290 = n [3n - 1]$$ $$1290 = 3n^2 - n$$ $$3n^2 - n - 1290 = 0$$Langkah 3: Selesaikan persamaan kuadratik (menggunakan faktorisasi).
Kita cari dua bilangan yang hasil kalinya $3 \times (-1290) = -3870$ dan jumlahnya $-1$. Bilangan tersebut adalah $-60$ dan $64.5$ (sulit, coba cara lain).
Cara lain: Cari faktor 3870 yang bedanya 1. Pasangan faktornya adalah $-60$ dan $64.5$ (Salah perhitungan awal. Faktor yang tepat adalah $-60$ dan $64.5$ masih salah).
Mari kita gunakan metode coba-coba atau faktorisasi lanjutan. Kita tahu $n$ harus bilangan bulat positif. Kita coba $n=20$, $3(400) - 20 - 1290 = 1200 - 20 - 1290 = -110$. Hampir.
Coba $n=21$, $3(441) - 21 - 1290 = 1323 - 21 - 1290 = 12$. Terlalu besar.
Ternyata faktornya adalah $n=20$ dan $n=21.5$ (bukan bilangan bulat). Oh, tunggu, $60 \times 64.5 \ne 3870$. Faktor yang tepat adalah $-65$ dan $64$. Atau... ini adalah $3n^2 - n - 1290 = 0$. Kita cari $(3n + p)(n + q) = 0$. $pq = -1290$. $3q + p = -1$.
Kita tahu $3n^2 - n - 1290 = 0$ dapat difaktorkan menjadi:
$$(3n + 86)(n - 15) = 0$$Dari sini, kita mendapatkan dua solusi untuk $n$:
$$n = 15 \quad \text{atau} \quad n = -\frac{86}{3}$$Karena banyak suku harus positif, maka $n=15$.
Banyaknya suku dalam deret tersebut adalah 15.
Tidak semua barisan memiliki beda konstan pada tingkat pertama. Barisan yang bedanya tidak konstan tetapi memiliki selisih konstan pada selisih kedua, ketiga, dan seterusnya disebut barisan aritmatika bertingkat.
Barisan ini ditandai dengan beda yang konstan muncul pada level selisih kedua. Pola ini sangat umum dan sering muncul dalam konteks soal pola bilangan kuadratik.
Contoh: $3, 8, 15, 24, 35, \dots$
Selisih Tingkat 1 ($b_1$): $5, 7, 9, 11, \dots$ (Bukan konstan)
Selisih Tingkat 2 ($b_2$): $2, 2, 2, \dots$ (Konstan!)
Suku ke-n dari barisan aritmatika tingkat dua dapat diwakili oleh fungsi kuadratik:
Untuk menentukan koefisien $A, B$, dan $C$, kita menggunakan sistem tiga persamaan yang diperoleh dari suku-suku awal dan beda tingkat kedua $b_2$:
Tentukan rumus suku ke-n dari barisan $3, 8, 15, 24, 35, \dots$
Langkah 1: Tentukan selisih.
$$U_1 = 3$$ $$U_2 - U_1 = 5 \quad (\text{Beda Tingkat 1})$$ $$b_2 = 2 \quad (\text{Beda Tingkat 2})$$Langkah 2: Tentukan koefisien $A$.
$$2A = b_2 \implies 2A = 2 \implies A = 1$$Langkah 3: Tentukan koefisien $B$.
$$3A + B = 5$$ $$3(1) + B = 5 \implies B = 2$$Langkah 4: Tentukan koefisien $C$.
$$A + B + C = U_1$$ $$1 + 2 + C = 3 \implies C = 0$$Langkah 5: Tulis rumus $U_n$.
$$U_n = 1n^2 + 2n + 0$$ $$U_n = n^2 + 2n$$Kita dapat cek: $U_1 = 1^2 + 2(1) = 3$. $U_5 = 5^2 + 2(5) = 25 + 10 = 35$. Rumus ini benar.
Penting untuk membedakan secara jelas Barisan Aritmatika dan Barisan Geometri, karena keduanya adalah dua jenis barisan dasar yang paling sering dipelajari.
| Aspek | Barisan Aritmatika | Barisan Geometri |
|---|---|---|
| Pola Perubahan | Penambahan atau Pengurangan konstan (Beda, $b$). | Perkalian atau Pembagian konstan (Rasio, $r$). |
| Sifat $U_n$ | Fungsi Linear terhadap $n$. Pertumbuhan lambat. | Fungsi Eksponensial terhadap $n$. Pertumbuhan cepat (kecuali $r < 1$). |
| Rumus $U_n$ | $U_n = a + (n-1)b$ | $U_n = ar^{n-1}$ |
| Rumus $S_n$ | $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)b]$ (Kuadratik) | $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ (Eksponensial) |
| Contoh | $2, 5, 8, 11, \dots$ ($b=3$) | $2, 6, 18, 54, \dots$ ($r=3$) |
Meskipun berbeda, ada kasus di mana ketiga suku awal sebuah barisan bisa menjadi aritmatika sekaligus geometri (hanya mungkin jika beda dan rasio sama, menghasilkan barisan konstan, misal $5, 5, 5, \dots$).
Dalam konteks ujian atau aplikasi teknik, barisan aritmatika sering disajikan sebagai masalah optimasi yang membutuhkan pemahaman mendalam tentang hubungan antara suku, beda, dan jumlah.
Sebuah pabrik memproduksi barang. Produksi pada bulan pertama adalah 100 unit. Karena manajemen ingin meningkatkan efisiensi, produksi meningkat secara konstan setiap bulan. Jika total produksi selama 6 bulan pertama adalah 900 unit, berapa peningkatan produksi setiap bulannya (beda $b$) dan berapa unit yang diproduksi pada bulan ke-12 ($U_{12}$)?
Langkah 1: Identifikasi variabel.
$$a = 100$$ $$n = 6$$ $$S_6 = 900$$Langkah 2: Gunakan $S_n$ untuk mencari $b$.
$$S_6 = \frac{6}{2} [2a + (6-1)b]$$ $$900 = 3 [2(100) + 5b]$$ $$300 = 200 + 5b$$ $$100 = 5b$$ $$b = 20$$Peningkatan produksi setiap bulan (beda) adalah 20 unit.
Langkah 3: Hitung produksi bulan ke-12 ($U_{12}$).
$$U_{12} = a + (12-1)b$$ $$U_{12} = 100 + (11)20$$ $$U_{12} = 100 + 220$$ $$U_{12} = 320$$Produksi pada bulan ke-12 adalah 320 unit.
Diberikan barisan aritmatika $100, 96, 92, \dots$ Berapa jumlah maksimum yang dapat dicapai oleh deret ini, dan berapa banyak suku yang harus dijumlahkan untuk mencapai jumlah tersebut?
Langkah 1: Identifikasi $a$ dan $b$.
$$a = 100$$ $$b = 96 - 100 = -4$$Jumlah maksimum dicapai tepat sebelum suku barisan menjadi negatif atau nol. Kita harus mencari suku terakhir yang positif ($U_n > 0$).
Langkah 2: Cari $n$ ketika $U_n$ mendekati nol.
$$U_n = a + (n-1)b > 0$$ $$100 + (n-1)(-4) > 0$$ $$100 - 4n + 4 > 0$$ $$104 > 4n$$ $$n < 26$$Karena $n$ harus bilangan bulat, $n$ maksimum adalah 25. Ini berarti suku ke-25 ($U_{25}$) adalah suku terakhir yang positif.
Langkah 3: Hitung $U_{25}$.
$$U_{25} = 100 + (25-1)(-4)$$ $$U_{25} = 100 + 24(-4) = 100 - 96 = 4$$Langkah 4: Hitung jumlah maksimum $S_{25}$.
Gunakan rumus $S_n$ bentuk 1, karena kita tahu $a$ dan $U_n$ (yaitu $U_{25}$):
$$S_{25} = \frac{25}{2} (a + U_{25})$$ $$S_{25} = \frac{25}{2} (100 + 4)$$ $$S_{25} = \frac{25}{2} (104)$$ $$S_{25} = 25 \times 52$$ $$S_{25} = 1300$$Jumlah maksimum yang dapat dicapai adalah 1300, yang diperoleh dari penjumlahan 25 suku pertama.
Barisan aritmatika, meskipun terlihat sederhana, menawarkan kerangka kerja yang kuat untuk memahami pola pertumbuhan linear yang teratur. Dari dua elemen kunci—suku pertama ($a$) dan beda konstan ($b$)—kita mampu menurunkan rumus untuk menentukan suku ke-$n$ ($U_n$) dan jumlah $n$ suku pertama ($S_n$).
Kekuatan konsep ini terletak pada universalitasnya. Baik itu dalam memodelkan pertumbuhan ekonomi, menghitung lintasan objek yang bergerak dengan percepatan konstan, atau hanya memecahkan teka-teki bilangan, pemahaman yang kokoh terhadap $U_n = a + (n-1)b$ dan $S_n = \frac{n}{2} (a + U_n)$ adalah fundamental. Ketika dihadapkan pada masalah barisan aritmatika yang kompleks, pendekatan sistematis—mulai dari identifikasi $a$ dan $b$, penggunaan eliminasi untuk menemukan variabel yang hilang, hingga penerapannya dalam rumus kuadratik untuk $S_n$—akan selalu membawa pada solusi yang tepat.
Studi mengenai barisan aritmatika adalah langkah awal yang esensial dalam matematika diskret, membuka jalan untuk eksplorasi deret tak hingga, barisan rekursif, dan konsep-konsep pola bilangan yang jauh lebih kompleks. Dengan menguasai konsep dasar dan teknik aplikasinya, Anda telah membekali diri dengan alat analisis pola yang efektif dan terstruktur.
Penguasaan Barisan Aritmatika juga mencakup kemampuan untuk mengaitkan variabel-variabel tanpa harus kembali ke $a$ dan $b$. Identitas-identitas ini berguna untuk pemecahan masalah yang efisien, terutama dalam kompetisi matematika.
Jika kita mengetahui suku ke-$k$ ($U_k$) dan beda ($b$), kita dapat menentukan suku ke-$n$ ($U_n$) tanpa harus mencari suku pertama ($a$):
Identitas ini diturunkan dari fakta bahwa perbedaan posisi suku dikalikan dengan beda akan menghasilkan perbedaan nilai suku tersebut: $U_n - U_k = (n - k)b$.
Dalam setiap barisan aritmatika berhingga, jumlah pasangan suku yang posisinya simetris dari ujung-ujung barisan selalu sama dengan jumlah suku pertama dan suku terakhir.
$$U_k + U_{n-k+1} = U_1 + U_n$$Misalnya, dalam barisan 10 suku: $U_2 + U_9 = U_1 + U_{10}$. Dan $U_3 + U_8 = U_1 + U_{10}$. Sifat inilah yang menjadi dasar mengapa rumus $S_n$ bekerja (konsep Gauss).
Rata-rata semua suku dalam barisan aritmatika adalah sama dengan suku tengah ($U_t$) jika jumlah suku ganjil, atau sama dengan rata-rata dua suku tengah jika jumlah suku genap.
$$\text{Rata-rata} = \frac{S_n}{n} = \frac{a + U_n}{2}$$Diketahui suku ke-7 adalah 42 dan suku ke-13 adalah 78. Tentukan suku ke-20.
Langkah 1: Cari beda $b$.
Gunakan $U_{13}$ dan $U_7$: $U_{13} = U_7 + (13 - 7)b$
$$78 = 42 + 6b$$ $$36 = 6b \implies b = 6$$Langkah 2: Cari $U_{20}$ menggunakan $U_{13}$.
$$U_{20} = U_{13} + (20 - 13)b$$ $$U_{20} = 78 + 7(6)$$ $$U_{20} = 78 + 42$$ $$U_{20} = 120$$Suku ke-20 adalah 120.
Seringkali, masalah barisan aritmatika disajikan dalam bentuk narasi yang kompleks, menggabungkan informasi tentang total jumlah deret ($S_n$) dan informasi tentang nilai suku tertentu ($U_n$).
Aula konser ditata sedemikian rupa sehingga barisan pertama memiliki 12 kursi, dan setiap barisan berikutnya selalu memiliki jumlah kursi yang bertambah secara konstan. Total kursi di 5 barisan pertama adalah 90 kursi. Jika aula memiliki total 15 barisan, berapa total kapasitas kursi aula tersebut?
Langkah 1: Identifikasi variabel awal.
$$a = 12$$ $$S_5 = 90$$ $$n_{\text{total}} = 15$$Langkah 2: Gunakan $S_5$ untuk mencari beda ($b$).
$$S_5 = \frac{5}{2} [2a + (5-1)b]$$ $$90 = 2.5 [2(12) + 4b]$$ $$90 = 2.5 [24 + 4b]$$ $$\frac{90}{2.5} = 24 + 4b$$ $$36 = 24 + 4b$$ $$12 = 4b \implies b = 3$$Pertambahan kursi per barisan adalah 3.
Langkah 3: Hitung total kapasitas kursi ($S_{15}$).
Gunakan $a=12$, $b=3$, $n=15$:
$$S_{15} = \frac{15}{2} [2(12) + (15-1)3]$$ $$S_{15} = 7.5 [24 + (14)3]$$ $$S_{15} = 7.5 [24 + 42]$$ $$S_{15} = 7.5 [66]$$ $$S_{15} = 495$$Total kapasitas kursi aula tersebut adalah 495 kursi.
Seperti yang telah dibahas, $U_n$ adalah fungsi linear diskret. Mari kita tinjau lebih jauh implikasi dari bentuk $U_n = bn + (a-b)$.
Dalam konteks grafik, jika $b$ besar (positif), barisan akan menanjak curam, menunjukkan perubahan yang cepat. Jika $b$ kecil (mendekati nol), barisan hampir horizontal (perubahan lambat). Jika $b$ negatif, barisan akan menurun.
Meskipun $n$ harus bilangan bulat positif (suku ke-1, ke-2, dst.), jika kita memperluas fungsi linear $f(n) = bn + C$ ke $n=0$, kita mendapatkan nilai $f(0) = C = a - b$. Nilai $a - b$ ini adalah suku yang akan mendahului suku pertama ($U_0$), meskipun secara matematis barisan dimulai dari $U_1$. Nilai ini sering disebut sebagai intercept y (titik potong sumbu vertikal) dari fungsi linear yang mendasarinya.
Misalkan kita memiliki dua titik data barisan aritmatika: $(n_1, U_{n_1})$ dan $(n_2, U_{n_2})$. Kita dapat menghitung beda ($b$) layaknya gradien ($m$):
$$b = \frac{U_{n_2} - U_{n_1}}{n_2 - n_1}$$Identitas ini memberikan cara yang sangat cepat untuk menemukan beda ketika dua suku acak diketahui, tanpa perlu menggunakan eliminasi sistem persamaan. Ini adalah salah satu teknik tercepat dalam menyelesaikan soal-soal kompetitif.
Suku ke-5 adalah 27 dan suku ke-15 adalah 77. Tentukan beda barisan tersebut.
Anggap $(n_1, U_{n_1}) = (5, 27)$ dan $(n_2, U_{n_2}) = (15, 77)$.
$$b = \frac{77 - 27}{15 - 5} = \frac{50}{10} = 5$$Beda barisan tersebut adalah 5.
Deret aritmatika dapat dipisahkan menjadi dua sub-deret: deret suku ganjil dan deret suku genap. Menariknya, kedua sub-deret ini juga merupakan barisan aritmatika, tetapi dengan beda yang baru.
Misal barisan awal adalah $U_1, U_2, U_3, U_4, U_5, \dots$ dengan beda $b$.
Sub-Deret Ganjil: $U_1, U_3, U_5, \dots$
$$U_1 = a, \quad U_3 = a + 2b, \quad U_5 = a + 4b$$Beda sub-deret ganjil adalah $(a+2b) - a = 2b$.
Sub-Deret Genap: $U_2, U_4, U_6, \dots$
$$U_2 = a + b, \quad U_4 = a + 3b, \quad U_6 = a + 5b$$Beda sub-deret genap adalah $(a+3b) - (a+b) = 2b$.
Kedua sub-deret tersebut memiliki beda yang nilainya dua kali lipat dari beda barisan aslinya.
Deret aritmatika $4, 11, 18, 25, 32, 39, \dots$ memiliki $b=7$. Tentukan suku ke-10 dari sub-deret genap.
Langkah 1: Identifikasi sub-deret genap.
Suku pertamanya adalah $U_2 = 11$.
Beda barisan baru adalah $b_{\text{baru}} = 2b = 2(7) = 14$.
Langkah 2: Tentukan $U_{10}$ sub-deret genap.
Di sini $n=10$, $a_{\text{baru}}=11$, $b_{\text{baru}}=14$.
$$U_{10} = a_{\text{baru}} + (10 - 1)b_{\text{baru}}$$ $$U_{10} = 11 + 9(14)$$ $$U_{10} = 11 + 126$$ $$U_{10} = 137$$Suku ke-10 dari sub-deret genap sama dengan suku ke-20 dari barisan asli ($U_{20} = a + 19b = 4 + 19(7) = 4 + 133 = 137$).
Konsep barisan aritmatika adalah dasar bagi banyak algoritma komputasi, terutama dalam inisialisasi array atau perhitungan yang melibatkan perulangan linear. Dalam pemrograman, kita dapat menggunakan loop untuk mensimulasikan deret aritmatika. Fungsi $U_n$ dan $S_n$ memungkinkan perhitungan dilakukan dalam waktu konstan $O(1)$, jauh lebih efisien daripada menggunakan perulangan $O(n)$.
Jika seorang programmer perlu menjumlahkan 1 juta suku pertama dari barisan aritmatika, menggunakan perulangan (loop) akan memakan waktu. Formula $S_n$ memungkinkan kalkulasi instan:
// Pseudo-code untuk perhitungan deret cepat
function hitung_jumlah_deret(a, b, n):
Un = a + (n - 1) * b
Sn = (n / 2) * (a + Un)
return Sn
Barisan aritmatika digunakan dalam algoritma Bresenham Line untuk menentukan titik-titik (piksel) mana yang harus diaktifkan untuk membentuk garis lurus. Perubahan koordinat piksel dalam sumbu X dan Y seringkali mengikuti pola aritmatika.
Dari pembahasan yang sangat detail ini, terlihat bahwa Barisan Aritmatika adalah sebuah sistem matematika yang elegan dan logis, sepenuhnya didasarkan pada prinsip pertambahan konstan. Seluruh identitas—mulai dari suku ke-n, jumlah deret, suku tengah, hingga sisipan—bermuara pada pemahaman yang kuat tentang $a$ dan $b$. Kemampuan untuk memanipulasi dan menggabungkan rumus-rumus ini adalah inti dari penguasaan materi. Baik sebagai alat pemodelan keuangan, dasar logika pemrograman, atau jembatan menuju kalkulus dan analisis deret yang lebih tinggi, Barisan Aritmatika merupakan keterampilan analitis yang tak ternilai.
Penguasaan materi ini tidak berhenti pada mengingat rumus semata, melainkan pada pemahaman mendalam tentang bagaimana setiap variabel saling terkait. Dengan berlatih memecahkan berbagai kasus yang melibatkan inversi rumus (mencari $n$ atau $b$ dari $S_n$) dan interpretasi soal cerita, Anda akan mampu mengaplikasikan pola linear ini di berbagai bidang keilmuan dengan percaya diri.