Barisan aritmatika bertingkat (sering disebut juga barisan tingkat tinggi atau barisan polinomial) mewakili evolusi dari konsep deret aritmatika standar. Jika pada barisan aritmatika biasa, selisih antara suku-suku berurutan selalu konstan (beda tingkat satu), maka pada barisan bertingkat, selisih konstan tersebut baru akan ditemukan setelah dilakukan proses pengurangan berulang kali hingga tingkat tertentu.
Pemahaman mendalam tentang struktur ini sangat penting karena barisan bertingkat muncul secara alami dalam berbagai konteks matematika dan ilmu pengetahuan, termasuk perhitungan kombinatorika, studi pola bilangan figuratif, dan penyelesaian masalah rekursi diskrit. Konsep dasarnya berakar pada gagasan bahwa suku ke-n dari barisan ini dapat diwakili oleh sebuah fungsi polinomial terhadap n.
Sebelum membahas barisan bertingkat, kita perlu membedakan tingkat-tingkat dasar:
Ini adalah barisan aritmatika yang paling umum. Suku ke-n ditentukan oleh $U_n = a + (n-1)b$, di mana $b$ adalah beda yang konstan. Ketika kita mencari selisih antara suku-suku yang berdekatan, kita langsung mendapatkan nilai $b$. Fungsi yang merepresentasikan $U_n$ adalah fungsi linier ($U_n = bn + (a-b)$), yang merupakan polinomial derajat 1.
Barisan aritmatika bertingkat adalah barisan bilangan di mana beda konstan baru ditemukan pada tingkat selisih ke-k, di mana $k \ge 2$. Jika beda konstan ditemukan pada tingkat kedua, itu disebut Barisan Aritmatika Tingkat Dua. Jika pada tingkat ketiga, disebut Tingkat Tiga, dan seterusnya.
Derajat tingkat barisan ($k$) selalu sesuai dengan derajat polinomial yang merepresentasikan suku ke-n. Jika barisan tersebut memiliki beda konstan pada tingkat $k$, maka rumus suku ke-n ($U_n$) adalah polinomial derajat $k$ dalam variabel $n$:
Menganalisis barisan bertingkat berarti menemukan koefisien-koefisien $A_0, A_1, \dots, A_k$ ini berdasarkan pola selisih yang terbentuk.
Alt Text: Diagram menunjukkan struktur barisan aritmatika bertingkat dua, dengan suku U1, U2, U3, U4. Selisih tingkat 1 (B1) berbeda-beda, namun selisih tingkat 2 (B2) adalah konstan.
Barisan tingkat dua adalah jenis barisan bertingkat yang paling sering dipelajari. Ciri khasnya adalah selisih kedua (beda tingkat 2) selalu sama untuk setiap pasangan suku selisih tingkat pertama yang berurutan. Ini berarti rumus suku ke-n-nya adalah polinomial kuadrat, $U_n = a n^2 + b n + c$.
Untuk menurunkan rumus yang menghubungkan koefisien $a, b, c$ dengan suku-suku awal dan beda konstan, kita harus melihat bagaimana $U_n$ berubah berdasarkan $n$.
| $n$ | $U_n = an^2 + bn + c$ | Beda Tingkat 1 ($\Delta_1$) | Beda Tingkat 2 ($\Delta_2$) |
|---|---|---|---|
| 1 | $U_1 = a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c$ | ||
| 2 | $U_2 = 4a + 2b + c$ | $U_2 - U_1 = 3a + b$ | |
| 3 | $U_3 = 9a + 3b + c$ | $U_3 - U_2 = 5a + b$ | $(5a+b) - (3a+b) = 2a$ |
| 4 | $U_4 = 16a + 4b + c$ | $U_4 - U_3 = 7a + b$ | $(7a+b) - (5a+b) = 2a$ |
Dari tabel di atas, kita mendapatkan sistem persamaan kunci yang sangat penting dalam menyelesaikan barisan tingkat dua. Misalkan $U_1$ adalah suku pertama, $B_1$ adalah beda tingkat 1 yang pertama (yaitu $U_2 - U_1$), dan $B_2$ adalah beda tingkat 2 yang konstan.
Dengan mengetahui $U_1, B_1$, dan $B_2$ dari barisan yang diberikan, kita dapat menyelesaikan sistem ini untuk menemukan $a, b, c$, dan kemudian menyusun rumus $U_n$. Solusi umumnya adalah:
Diberikan barisan: 3, 7, 13, 21, 31, ... Tentukan rumus suku ke-n ($U_n$).
Dari barisan dan selisih di atas, kita dapatkan:
Kita tahu $U_n = a n^2 + b n + c$.
Substitusikan $a=1, b=1, c=1$ ke rumus umum:
Uji coba: $U_4 = 4^2 + 4 + 1 = 16 + 5 = 21$. (Cocok).
Meskipun sistem persamaan efektif, ada juga rumus umum yang berlaku untuk barisan aritmatika bertingkat berapa pun, yaitu menggunakan Formula Beda Maju Newton. Untuk tingkat $k=2$, rumusnya menjadi:
Di mana $U_1$ adalah suku pertama, $B_1$ adalah beda tingkat 1 yang pertama ($U_2 - U_1$), dan $B_2$ adalah beda tingkat 2 yang konstan.
Gunakan barisan 2, 8, 18, 32, ...
Kedua metode—sistem persamaan dan formula Newton—akan selalu memberikan hasil yang sama, namun formula Newton sering kali lebih efisien untuk barisan tingkat tinggi karena polanya yang terstruktur berdasarkan kombinasi faktorial.
Ketika beda konstan baru muncul pada tingkat ketiga ($k=3$), barisan tersebut diwakili oleh polinomial kubik (derajat 3): $U_n = a n^3 + b n^2 + c n + d$. Derivasi untuk kasus ini jauh lebih rumit, tetapi mengikuti prinsip yang sama, di mana selisih tertinggi berhubungan langsung dengan koefisien $a$ dan $k!$ (k faktorial).
Dengan melakukan proses selisih berturut-turut pada $U_n = a n^3 + b n^2 + c n + d$, kita menemukan hubungan kunci:
Melalui perhitungan aljabar ekstensif (seperti yang ditunjukkan pada Tingkat Dua), kita menemukan bahwa beda konstan pada tingkat ketiga ($B_3$) selalu bernilai $6a$. (Ingat, $6 = 3!$).
Dengan sistem empat persamaan empat variabel ini, kita dapat secara bertahap menyelesaikan $a, b, c,$ dan $d$ dimulai dari persamaan ke-4.
Diberikan barisan yang merepresentasikan jumlah bola dalam piramida segitiga (bilangan tetrahedral): 1, 4, 10, 20, 35, ...
U_n : 1 4 10 20 35
B_1 : 3 6 10 15 (Berubah)
B_2 : 3 4 5 (Berubah)
B_3 : 1 1 (Konstan!)
Kita tahu $U_n = a n^3 + b n^2 + c n + d$.
Substitusikan $a=1/6, b=1/2, c=1/3, d=0$:
Rumus ini juga dikenal sebagai rumus kombinatorika $\binom{n+2}{3} = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}$, yang setelah diekspansi memberikan hasil yang sama.
Prinsip yang kita amati pada tingkat dua dan tiga dapat digeneralisasi untuk barisan aritmatika bertingkat $k$ (di mana $k$ adalah bilangan bulat positif). Jika beda konstan ditemukan pada tingkat $k$, maka $U_n$ adalah polinomial derajat $k$.
Hubungan fundamental antara koefisien utama ($A_k$) dan beda konstan ($B_k$) pada tingkat $k$ selalu mengikuti pola faktorial:
Sebagai contoh, jika barisan adalah tingkat 4, maka beda konstan $B_4$ adalah $4! \cdot A_4 = 24 A_4$. Jika barisan adalah tingkat 5, maka $B_5 = 5! \cdot A_5 = 120 A_5$. Hubungan ini memastikan bahwa proses penemuan beda hingga tingkat $k$ akan menghilangkan semua suku polinomial yang lebih rendah, hanya menyisakan suku tertinggi yang konstan.
Untuk menghindari pemecahan sistem persamaan yang sangat besar (yang bisa mencapai 10x10 jika $k=10$), metode yang paling efisien untuk menemukan $U_n$ pada barisan tingkat tinggi adalah menggunakan Formula Beda Maju Newton secara penuh. Rumus ini menghubungkan $U_n$ hanya dengan suku pertama ($U_1$) dan beda-beda awal dari setiap tingkat ($B_1, B_2, \dots, B_k$).
(Catatan: $\binom{n-1}{r} = \frac{(n-1)!}{r!(n-1-r)!}$ adalah koefisien binomial)
Formula ini memiliki keindahan matematis karena menunjukkan bagaimana setiap tingkat perbedaan berkontribusi pada pertumbuhan barisan. Koefisien binomial $\binom{n-1}{r}$ bertindak sebagai 'bobot' yang menentukan seberapa cepat pengaruh beda tingkat $r$ tersebut meningkat seiring bertambahnya $n$.
Misalkan kita memiliki barisan yang sangat kompleks: 0, 1, 5, 19, 49, 101, ... Setelah dihitung, ditemukan $B_4 = 6$.
Menyederhanakan rumus ini membutuhkan aljabar yang teliti, tetapi intinya adalah mengubah setiap suku menjadi bentuk polinomial. Suku terakhir, yang melibatkan $B_4$, akan menghasilkan $A_4 n^4$ di mana $A_4 = B_4/24 = 6/24 = 1/4$.
(Setelah penyederhanaan yang sangat panjang, rumus akan menjadi: $U_n = \frac{1}{4} n^4 - \frac{5}{4} n^3 + \frac{9}{4} n^2 - \frac{3}{4} n - \frac{2}{4}$)
Walaupun penyederhanaan manual memakan waktu, formula Newton menyediakan kerangka kerja yang sistematis untuk barisan tingkat $k$ apa pun.
Barisan aritmatika bertingkat memiliki beberapa sifat matematis penting yang memperkuat hubungannya dengan teori polinomial dan kalkulus diskrit.
Jika suku ke-n ($U_n$) adalah polinomial derajat $k$, maka jumlah $n$ suku pertama ($S_n = U_1 + U_2 + \dots + U_n$) adalah polinomial derajat $k+1$.
Ini adalah analog diskrit dari integral dalam kalkulus: jika Anda mengintegrasikan polinomial derajat $k$, Anda mendapatkan polinomial derajat $k+1$. Penemuan rumus $S_n$ untuk barisan bertingkat melibatkan penggunaan rumus jumlah deret pangkat atau integrasi diskrit (menggunakan rumus Faulhaber yang dimodifikasi atau Metode Operator Beda).
Ambil kembali barisan $U_n = n^2 + n + 1$ (Contoh 1). Ini adalah polinomial derajat 2, sehingga $S_n$ harus merupakan polinomial derajat 3 ($A n^3 + B n^2 + C n + D$).
Karena $S_n = \sum_{i=1}^{n} (i^2 + i + 1)$, kita bisa memisahkan jumlahnya:
$$ S_n = \sum i^2 + \sum i + \sum 1 $$Dengan menggunakan rumus Faulhaber dasar:
$$ S_n = \left(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\right) + \left(\frac{n(n+1)}{2}\right) + n $$Menyederhanakan ini akan menghasilkan satu polinomial kubik (derajat 3) yang sangat panjang, menegaskan prinsip bahwa jumlah suku barisan aritmatika bertingkat $k$ selalu berderajat $k+1$.
Jika sebuah barisan angka tidak menghasilkan beda konstan pada tingkat selisih mana pun yang Anda hitung (misalnya, barisan bilangan prima), maka barisan tersebut tidak dapat direpresentasikan oleh fungsi polinomial. Ini berarti barisan aritmatika bertingkat secara inheren terikat pada domain fungsi polinomial.
Fakta bahwa beda ke-$k$ adalah konstan memastikan bahwa, ketika $n$ menuju tak terhingga, pertumbuhan barisan sepenuhnya didominasi oleh suku utama $A_k n^k$. Perilaku asimptotik barisan bertingkat selalu mengikuti bentuk fungsi pangkat.
Barisan aritmatika bertingkat jauh dari sekadar latihan akademik. Mereka muncul dalam analisis pola diskrit di berbagai disiplin ilmu.
Semua bilangan figuratif (kecuali bilangan linier, seperti bilangan ganjil atau genap) menghasilkan barisan aritmatika bertingkat:
Semua bilangan figuratif polihedron ($m$-dimensi) akan menghasilkan barisan aritmatika bertingkat $m$, di mana beda konstan ditemukan pada tingkat $m$.
Dalam analisis algoritma, banyak masalah menghitung jumlah operasi atau kompleksitas waktu yang menghasilkan pola yang diwakili oleh barisan bertingkat. Salah satu contoh klasiknya adalah masalah kompleksitas rekursif:
Pertimbangkan kode program dengan loop bersarang tiga (tripel loop) di mana iterasi loop terdalam bergantung pada dua loop luarnya. Jumlah total operasi akan sering menghasilkan pola pertumbuhan kubik (Tingkat Tiga).
Misalnya, jika Anda menghitung jumlah pasangan titik yang dapat dibentuk dari $n$ titik, polanya adalah $n(n-1)/2$, yang merupakan barisan tingkat dua.
Metode beda terbatas (Finite Differences) adalah tulang punggung analisis barisan bertingkat. Metode ini digunakan untuk memperkirakan nilai suatu fungsi yang tidak diketahui (atau sulit dihitung) dengan mengekstrapolasi dari titik data diskrit. Jika kita mengasumsikan bahwa fungsi dasar yang mendasari data adalah polinomial, maka metode beda terbatas akan mengungkap derajat polinomial tersebut (tingkat konstan $k$). Ini adalah alat penting dalam interpolasi numerik.
Alt Text: Diagram yang menjelaskan hubungan umum bahwa beda konstan tingkat k (Bk) sama dengan k faktorial dikalikan koefisien utama (Ak) dari polinomial U_n.
Ketika kita bekerja dengan barisan bertingkat, pada dasarnya kita sedang melakukan interpolasi polinomial. Interpolasi ini melibatkan penemuan polinomial unik yang melewati serangkaian titik data diskrit. Dalam konteks barisan, titik data adalah $(n, U_n)$.
Dua alat utama untuk interpolasi polinomial adalah formula Lagrange dan formula Newton. Walaupun keduanya akan memberikan polinomial yang sama, formula Newton (yang merupakan basis dari metode beda maju yang kita gunakan) lebih disukai untuk barisan bertingkat karena alasan komputasi dan interpretasi:
Penting untuk membedakan antara koefisien polinomial ($a, b, c, \dots$ dalam $U_n = a n^k + \dots$) dan koefisien beda dalam rumus Newton ($B_1, B_2, B_3, \dots$).
Koefisien polinomial menentukan bentuk kurva secara keseluruhan, sedangkan koefisien beda adalah nilai awal spesifik yang diukur langsung dari data barisan. Transformasi dari koefisien beda ke koefisien polinomial selalu melibatkan kombinasi linier faktorial, seperti yang ditunjukkan dalam hubungan $B_k = k! A_k$.
Mari kita telaah kembali derivasi $U_n$ untuk kasus Tingkat Dua menggunakan fokus pada koefisien beda, karena ini memberikan pemahaman yang lebih dalam mengenai bagaimana setiap tingkat beda menyumbangkan pertumbuhan kuadratik.
Kita dapat menulis $U_n$ sebagai kombinasi dari fungsi basis polinomial diskrit, yang dikenal sebagai 'polinomial faktorial jatuh' (falling factorial):
$$ U_n = c_0 \binom{n-1}{0} + c_1 \binom{n-1}{1} + c_2 \binom{n-1}{2} $$Dalam notasi ini, kita dapat membuktikan bahwa $c_0 = U_1$, $c_1 = B_1$, dan $c_2 = B_2$.
Mengapa ini penting? Karena $\binom{n-1}{2} = \frac{(n-1)(n-2)}{2}$ adalah fungsi kuadratik murni dalam $n$. Suku $c_2 \binom{n-1}{2}$ adalah suku yang bertanggung jawab sepenuhnya atas sifat kuadratik (tingkat dua) dari barisan tersebut.
Jika kita ekspansikan, kita akan mendapatkan bentuk polinomial standar $a n^2 + b n + c$ kembali:
$$ U_n = U_1 + B_1 (n-1) + B_2 \left(\frac{n^2 - 3n + 2}{2}\right) $$Koefisien kuadratik $a$ di sini adalah: $a = B_2 / 2$. Koefisien ini berasal murni dari suku terakhir rumus, sekali lagi menegaskan bahwa beda konstan tingkat $k$ (yaitu $B_2$) adalah penentu utama sifat pertumbuhan barisan.
Meskipun barisan aritmatika bertingkat sangat kuat, mereka memiliki batasan mendasar: mereka hanya dapat memodelkan pertumbuhan yang dapat direpresentasikan oleh fungsi pangkat. Mereka tidak cocok untuk barisan yang tumbuh secara eksponensial (seperti barisan geometri), faktorial, atau barisan yang melibatkan fungsi trigonometri. Jika kita menghitung selisih dari barisan eksponensial ($2^n = 2, 4, 8, 16, 32, \dots$), beda tersebut tidak akan pernah menjadi konstan; beda tingkat ke-$k$ akan selalu mengikuti pola pertumbuhan yang sama, yaitu eksponensial.
Untuk menekankan pentingnya generalisasi, kita akan menerapkan formula Newton pada situasi di mana metode sistem persamaan menjadi tidak praktis.
Jika kita memiliki poligon cembung dengan $n$ sisi, jumlah maksimum titik potong diagonal di dalamnya menghasilkan sebuah barisan yang sangat menarik. Barisan ini dimulai dengan $n=4$ (segi empat), karena poligon dengan $n<4$ tidak memiliki diagonal yang berpotongan di dalam.
Barisan $(P_n)$: 1, 5, 15, 35, 70, ... Kita akan menganalisis barisan ini (menggunakan $n=4$ sebagai $U_1$).
P_n : 1 5 15 35 70
B_1 : 4 10 20 35 (Tingkat 1)
B_2 : 6 10 15 (Tingkat 2)
B_3 : 4 5 (Tingkat 3)
B_4 : 1 1 (Konstan!)
Barisan ini adalah barisan aritmatika Tingkat Empat. Kita menggunakan indeks $n$ dari poligon (4, 5, 6, 7, 8...). Kita perlu menyesuaikan formula Newton agar menggunakan indeks $m = n - 3$ untuk barisan $(P_m)$.
Menggunakan indeks barisan $m$ (di mana $m=1$ adalah $n=4$):
Rumus untuk suku ke-$m$ adalah:
$$ P_m = P_1 + \binom{m-1}{1} B_1 + \binom{m-1}{2} B_2 + \binom{m-1}{3} B_3 + \binom{m-1}{4} B_4 $$ $$ P_m = 1 + (m-1)(4) + \frac{(m-1)(m-2)}{2}(6) + \frac{(m-1)(m-2)(m-3)}{6}(4) + \frac{(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)}{24}(1) $$Jika kita perhatikan koefisien binomial yang digunakan (1, 4, 6, 4, 1), ini adalah baris ke-4 dari Segitiga Pascal. Ini sangat mengarahkan pada identitas kombinatorik. Suku ke-$m$ ternyata setara dengan $\binom{m+3}{4}$.
Karena $m = n - 3$, kita mendapatkan rumus kombinatorika terkenal untuk jumlah titik potong diagonal:
Rumus ini, yang berasal dari prinsip kombinatorika (memilih 4 titik dari $n$ untuk membentuk satu persimpangan), secara sempurna direplikasi oleh analisis barisan aritmatika bertingkat tingkat 4. Ini menunjukkan keselarasan mendalam antara aljabar polinomial dan kombinatorika diskrit.
Untuk meringkas semua yang telah dibahas, berikut adalah prosedur langkah demi langkah yang harus diikuti ketika menghadapi barisan aritmatika bertingkat yang tidak diketahui tingkatnya:
Melalui proses yang terstruktur ini, barisan aritmatika bertingkat, tidak peduli seberapa tinggi tingkatnya, dapat dianalisis dan direduksi menjadi bentuk polinomial yang mudah digunakan, memungkinkan kita untuk memprediksi suku ke-seratus atau ke-seribu dengan akurasi sempurna.