Dalam dunia matematika, kita akrab dengan berbagai jenis bilangan: bilangan asli, bulat, rasional, hingga real. Namun, cakupan bilangan tidak berhenti di situ. Ada sebuah kategori bilangan yang lebih luas dan memiliki peran fundamental dalam studi persamaan polinomial, yaitu bilangan aljabar. Konsep ini mungkin terdengar rumit pada awalnya, tetapi pada dasarnya ia merujuk pada solusi dari sebuah persamaan polinomial dengan koefisien bilangan bulat.
Secara formal, sebuah bilangan kompleks (bisa berupa bilangan real atau imajiner) dikatakan sebagai bilangan aljabar jika ia adalah akar dari suatu polinomial tak-nol yang semua koefisiennya adalah bilangan bulat. Persamaan polinomial umum dapat ditulis sebagai:
a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0 = 0
Di mana n adalah bilangan bulat non-negatif (derajat polinomial), dan koefisien a_0, a_1, ..., a_n semuanya adalah bilangan bulat, dengan a_n ≠ 0.
Sebagai contoh sederhana, bilangan √2 adalah bilangan aljabar karena ia adalah akar dari persamaan x² - 2 = 0. Di sini, n=2, koefisien a_2 = 1, a_1 = 0, dan a_0 = -2, yang semuanya adalah bilangan bulat. Demikian pula, bilangan rasional seperti 1/2 adalah bilangan aljabar, karena ia merupakan akar dari persamaan 2x - 1 = 0.
Bilangan aljabar dapat diklasifikasikan lebih lanjut berdasarkan sifat-sifatnya:
p/q (dengan p dan q bilangan bulat, q ≠ 0) adalah akar dari persamaan qx - p = 0.√2 atau √3.i (unit imajiner, di mana i² = -1) juga merupakan bilangan aljabar, karena ia adalah akar dari x² + 1 = 0.Jika ada bilangan yang bukan bilangan aljabar, bagaimana kita menyebutnya? Bilangan yang bukan bilangan aljabar disebut bilangan transenden. Artinya, bilangan transenden tidak dapat menjadi akar dari persamaan polinomial apa pun dengan koefisien bilangan bulat. Bilangan transenden adalah tipe bilangan yang lebih "aneh" dan lebih langka dibandingkan bilangan aljabar.
Contoh paling terkenal dari bilangan transenden adalah π (pi), konstanta rasio keliling lingkaran terhadap diameternya, dan e, basis logaritma natural. Meskipun telah banyak upaya selama berabad-abad untuk menemukan persamaan polinomial yang akarnya adalah π atau e, semua upaya tersebut telah gagal. Ini mengkonfirmasi status mereka sebagai bilangan transenden. Pembuktian sifat transenden sebuah bilangan biasanya merupakan tugas yang sangat sulit dalam teori bilangan.
Studi tentang bilangan aljabar memiliki implikasi mendalam dalam berbagai bidang matematika, termasuk:
Memahami bilangan aljabar membuka pintu untuk menjelajahi struktur matematis yang lebih dalam dan lebih kompleks, melampaui intuisi kita tentang bilangan yang biasa kita gunakan sehari-hari. Mereka adalah bukti kekayaan dan kedalaman dunia matematika.