Pecahan aljabar adalah ekspresi yang melibatkan variabel (huruf seperti x, y, a, b) di pembilang dan/atau penyebutnya. Konsep dasar operasi pada pecahan aljabar sangat mirip dengan operasi pada pecahan biasa (angka), namun dengan tambahan penanganan variabel. Memahami cara menghitungnya penting dalam berbagai bidang matematika, mulai dari aljabar dasar hingga kalkulus.
Langkah pertama dalam menjumlahkan atau mengurangkan pecahan aljabar adalah menemukan penyebut bersama (common denominator). Jika kedua pecahan sudah memiliki penyebut yang sama, Anda cukup menjumlahkan atau mengurangkan pembilangnya, dan menyalin penyebutnya.
Contoh: Jumlahkan (2x + 1) / (x - 3) dan (x - 5) / (x - 3).
Karena penyebutnya sama yaitu (x - 3), kita cukup menjumlahkan pembilangnya:
((2x + 1) + (x - 5)) / (x - 3)
Sederhanakan pembilangnya: 2x + 1 + x - 5 = 3x - 4
Hasilnya adalah: (3x - 4) / (x - 3)
Jika penyebutnya berbeda, Anda perlu mencari Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari penyebut-penyebut tersebut untuk dijadikan penyebut bersama. Setelah penyebut bersama didapatkan, samakan pembilang setiap pecahan seolah-olah Anda mengubah pecahan tersebut agar memiliki penyebut bersama.
Contoh: Kurangkan 5 / (x + 1) dari 3 / (x - 2).
Penyebutnya adalah (x + 1) dan (x - 2). KPK dari kedua penyebut ini adalah (x + 1)(x - 2).
Ubah pecahan pertama: (3 * (x - 2)) / ((x + 1)(x - 2)) = (3x - 6) / ((x + 1)(x - 2))
Ubah pecahan kedua: (5 * (x + 1)) / ((x - 2)(x + 1)) = (5x + 5) / ((x + 1)(x - 2))
Sekarang kurangkan pembilangnya:
((3x - 6) - (5x + 5)) / ((x + 1)(x - 2))
Sederhanakan pembilangnya: 3x - 6 - 5x - 5 = -2x - 11
Hasilnya adalah: (-2x - 11) / ((x + 1)(x - 2)). Anda juga bisa menulisnya sebagai (2x + 11) / (-(x + 1)(x - 2)) atau (2x + 11) / ((x + 1)(2 - x)).
Perkalian pecahan aljabar jauh lebih sederhana daripada penjumlahan atau pengurangan. Anda cukup mengalikan pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut.
Contoh: Kalikan (x + 2) / (x - 1) dengan (x - 3) / (x + 4).
((x + 2) * (x - 3)) / ((x - 1) * (x + 4))
Kemudian, Anda bisa mengalikan suku-suku di pembilang dan penyebut jika diperlukan, atau membiarkannya dalam bentuk terfaktor. Dalam kasus ini, membiarkannya dalam bentuk terfaktor seringkali lebih disukai.
Hasilnya adalah: (x² - x - 6) / (x² + 3x - 4).
Sebelum mengalikan, selalu periksa apakah ada faktor yang dapat disederhanakan (dicancel) antara pembilang satu pecahan dengan penyebut pecahan lain, atau sebaliknya. Ini akan membuat hasil akhir lebih sederhana.
Membagi pecahan aljabar sama dengan mengalikan pecahan pertama dengan kebalikan (reciprocal) dari pecahan kedua. Kebalikan dari sebuah pecahan adalah membalik pembilang dan penyebutnya.
Contoh: Bagi (x + 1) / (x - 2) dengan (x - 3) / (x + 4).
Kebalikan dari (x - 3) / (x + 4) adalah (x + 4) / (x - 3).
Sekarang kalikan pecahan pertama dengan kebalikan pecahan kedua:
((x + 1) / (x - 2)) * ((x + 4) / (x - 3))
Kalikan pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut:
((x + 1) * (x + 4)) / ((x - 2) * (x - 3))
Hasilnya adalah: (x² + 5x + 4) / (x² - 5x + 6).
1 / x, x tidak boleh sama dengan 0.Dengan memahami prinsip-prinsip dasar ini dan berlatih secara konsisten, Anda akan mahir dalam menghitung dan memanipulasi pecahan aljabar.