Aljabar linear adalah cabang matematika yang mempelajari vektor, ruang vektor, transformasi linear, dan sistem persamaan linear. Meskipun namanya terdengar rumit, konsep dasarnya sering kali hadir dalam kehidupan sehari-hari, bahkan tanpa kita sadari. Artikel ini akan mengupas beberapa contoh sederhana aljabar linear untuk membantu Anda memahaminya.
Visualisasi sederhana penjumlahan dua vektor dalam ruang 2D.
Vektor adalah konsep fundamental dalam aljabar linear. Bayangkan Anda sedang menjelaskan cara menuju suatu tempat. Anda tidak hanya mengatakan "sejauh 5 kilometer," tetapi juga "ke arah utara." Inilah inti dari vektor: ia memiliki besaran (jarak) dan arah.
Dalam aljabar linear, vektor biasanya direpresentasikan sebagai daftar angka (komponen) dalam kurung siku atau kurung biasa. Misalnya, vektor 2 dimensi bisa ditulis sebagai:
A = [3, 4]B = (1, -2)Angka pertama dalam kurung merepresentasikan pergerakan pada sumbu horizontal (misalnya, 'kanan' atau 'kiri'), dan angka kedua merepresentasikan pergerakan pada sumbu vertikal (misalnya, 'atas' atau 'bawah'). Vektor bisa memiliki dimensi lebih dari dua, seperti dalam 3 dimensi: C = [1, 2, 3].
Menjumlahkan atau mengurangi vektor adalah operasi yang sederhana. Anda hanya perlu menjumlahkan atau mengurangi komponen yang bersesuaian dari setiap vektor.
Contoh:
A = [3, 4] dan B = [1, -2], maka:A + B = [3+1, 4+(-2)] = [4, 2]A - B = [3-1, 4-(-2)] = [2, 6]Secara geometris, penjumlahan vektor ini bisa divisualisasikan dengan meletakkan ekor vektor kedua di ujung vektor pertama. Vektor hasil penjumlahan adalah vektor yang menghubungkan ekor vektor pertama ke ujung vektor kedua (aturan jajar genjang).
Perkalian skalar berarti mengalikan setiap komponen vektor dengan sebuah angka tunggal (skalar). Ini akan mengubah besaran vektor, tetapi arahnya tetap sama (atau berbalik arah jika skalar negatif).
Contoh:
A = [3, 4] dan skalar k = 2, maka:k * A = 2 * [3, 4] = [2*3, 2*4] = [6, 8]Vektor [6, 8] memiliki arah yang sama dengan [3, 4], tetapi dua kali lebih panjang.
Salah satu aplikasi paling umum dari aljabar linear adalah untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Sistem ini adalah sekumpulan persamaan yang melibatkan banyak variabel, di mana setiap persamaan adalah "linear" (tidak ada variabel yang dipangkatkan atau dikalikan satu sama lain).
Contoh Sistem Persamaan Linear Sederhana:
Misalkan Anda pergi ke toko buah dan membeli 3 apel dan 2 jeruk seharga Rp 20.000. Kemudian, Anda membeli 1 apel dan 4 jeruk seharga Rp 25.000.
Kita bisa merepresentasikan ini dalam bentuk persamaan linear, di mana a adalah harga per apel dan j adalah harga per jeruk:
3a + 2j = 200001a + 4j = 25000Aljabar linear menyediakan metode sistematis (seperti eliminasi Gauss atau menggunakan matriks) untuk menemukan nilai a dan j yang memenuhi kedua persamaan ini.
Dalam bentuk matriks, sistem ini bisa ditulis sebagai:
[ 3 2 ] [ a ] = [ 20000 ]
[ 1 4 ] [ j ] [ 25000 ]
Matriks [ 3 2; 1 4 ] disebut matriks koefisien. Menyelesaikan sistem ini berarti mencari vektor [a, j].
Transformasi linear adalah fungsi yang memetakan satu ruang vektor ke ruang vektor lain, sambil mempertahankan operasi penjumlahan vektor dan perkalian skalar. Contoh transformasi linear yang umum adalah rotasi, penskalaan, dan refleksi.
Bayangkan Anda memiliki sebuah titik pada peta. Transformasi linear bisa memutar peta tersebut, memperbesar, atau membalikkan gambar. Dalam grafik komputer atau pemrosesan gambar, transformasi linear digunakan untuk memanipulasi objek.
Misalnya, rotasi 90 derajat searah jarum jam pada bidang 2D dapat direpresentasikan oleh matriks:
[ 0 1 ]
[ -1 0 ]
Jika Anda mengalikan matriks ini dengan vektor posisi sebuah titik, Anda akan mendapatkan vektor posisi titik tersebut setelah dirotasi.
Aljabar linear adalah dasar bagi banyak bidang ilmu komputer, fisika, teknik, ekonomi, dan ilmu data. Dengan memahami konsep-konsep dasarnya, Anda membuka pintu untuk memahami topik-topik yang lebih kompleks dan aplikasinya yang luas.