Ilustrasi: Proses distribusi dalam perkalian aljabar.
Perkalian aljabar mungkin terdengar rumit bagi sebagian orang, namun pada dasarnya konsepnya cukup sederhana jika kita memahami aturan-aturannya. Dalam matematika, aljabar adalah cabang yang mempelajari simbol dan aturan untuk memanipulasi simbol-simbol tersebut. Perkalian aljabar melibatkan pengalian ekspresi yang mengandung variabel (seperti x, y, a, b) dan konstanta (angka). Memahami cara melakukan perkalian aljabar adalah dasar penting untuk berbagai topik matematika yang lebih lanjut.
Tujuan dari artikel ini adalah untuk memberikan pemahaman yang jelas melalui contoh perkalian aljabar yang mudah diikuti. Kita akan membahas beberapa skenario umum, mulai dari perkalian monomial dengan monomial, monomial dengan polinomial, hingga perkalian dua polinomial.
Monomial adalah ekspresi aljabar yang terdiri dari satu suku. Contohnya adalah 5x, -3y², atau 7ab. Perkalian monomial dengan monomial adalah bentuk paling dasar dari perkalian aljabar.
Aturan dasarnya adalah mengalikan koefisien (angka di depan variabel) dan mengalikan bagian variabelnya. Untuk bagian variabel, kita menggunakan sifat eksponen: ketika mengalikan basis yang sama, tambahkan pangkatnya (xᵃ * xᵇ = xᵃ⁺ᵇ).
Kalikan 3x² dengan 4x³.
(3x²) * (4x³)
Langkah 1: Kalikan koefisiennya. 3 * 4 = 12.
Langkah 2: Kalikan bagian variabelnya. x² * x³ = x²⁺³ = x⁵.
Jadi, hasil perkaliannya adalah 12x⁵.
Kalikan -5a³b² dengan 2ab⁴.
(-5a³b²) * (2ab⁴)
Langkah 1: Kalikan koefisien. -5 * 2 = -10.
Langkah 2: Kalikan bagian variabel 'a'. Ingat bahwa a sama dengan a¹. Jadi, a³ * a¹ = a³⁺¹ = a⁴.
Langkah 3: Kalikan bagian variabel 'b'. b² * b⁴ = b²⁺⁴ = b⁶.
Menggabungkan hasilnya: -10a⁴b⁶.
Polinomial adalah ekspresi aljabar yang terdiri dari dua suku atau lebih (misalnya, binomial: 2 suku, trinomial: 3 suku). Ketika mengalikan monomial dengan polinomial, kita menggunakan sifat distributif. Ini berarti kita mengalikan monomial tersebut dengan setiap suku di dalam polinomial.
Sifat distributif menyatakan: a(b + c) = ab + ac.
Kalikan 2x dengan (x + 5).
2x(x + 5)
Langkah 1: Kalikan 2x dengan suku pertama di dalam kurung, yaitu x. 2x * x = 2x².
Langkah 2: Kalikan 2x dengan suku kedua di dalam kurung, yaitu 5. 2x * 5 = 10x.
Langkah 3: Gabungkan hasil perkalian tersebut dengan tanda operasi yang sesuai. Karena di dalam kurung ada tanda tambah, maka hasilnya adalah jumlah kedua hasil perkalian.
Hasilnya adalah 2x² + 10x.
Kalikan -3y² dengan (4y³ - 2y + 7).
-3y²(4y³ - 2y + 7)
Kita akan mengalikan -3y² dengan setiap suku di dalam kurung:
-3y² * 4y³ = -12y⁵
-3y² * (-2y) = 6y³ (ingat, negatif dikali negatif adalah positif)
-3y² * 7 = -21y²
Menggabungkan semua hasil:
Hasilnya adalah -12y⁵ + 6y³ - 21y².
Ini adalah skenario yang paling umum dan terkadang dianggap paling menantang. Ketika mengalikan dua polinomial, setiap suku dalam polinomial pertama harus dikalikan dengan setiap suku dalam polinomial kedua. Metode yang umum digunakan adalah metode FOIL (untuk binomial) atau metode distribusi umum.
Misalkan kita ingin mengalikan (a + b) dengan (c + d).
Langkahnya adalah:
a) dengan setiap suku di polinomial kedua (c dan d). Hasilnya: ac + ad.b) dengan setiap suku di polinomial kedua (c dan d). Hasilnya: bc + bd.ac + ad + bc + bd.Kalikan (x + 3) dengan (x + 5).
(x + 3)(x + 5)
Langkah 1: Kalikan x (suku pertama dari (x+3)) dengan setiap suku di (x+5).
x * x = x²
x * 5 = 5x
Langkah 2: Kalikan 3 (suku kedua dari (x+3)) dengan setiap suku di (x+5).
3 * x = 3x
3 * 5 = 15
Langkah 3: Jumlahkan semua hasil.
x² + 5x + 3x + 15
Langkah 4: Sederhanakan dengan menggabungkan suku-suku sejenis (5x dan 3x).
x² + (5x + 3x) + 15 = x² + 8x + 15
Hasilnya adalah x² + 8x + 15.
FOIL adalah singkatan dari First, Outer, Inner, Last, yang merujuk pada urutan suku yang dikalikan saat mengalikan dua binomial: (a + b)(c + d).
a * c).a * d).b * c).b * d).Kalikan (2x - 1) dengan (x + 4).
(2x - 1)(x + 4)
First: 2x * x = 2x²
Outer: 2x * 4 = 8x
Inner: -1 * x = -x
Last: -1 * 4 = -4
Jumlahkan semua hasil: 2x² + 8x - x - 4
Sederhanakan: 2x² + (8x - x) - 4 = 2x² + 7x - 4
Hasilnya adalah 2x² + 7x - 4.
Memahami contoh perkalian aljabar di atas akan memberikan fondasi yang kuat. Kuncinya adalah ketelitian dalam mengalikan koefisien dan menerapkan aturan eksponen pada variabel, serta konsisten dalam menggunakan sifat distributif. Latihan yang rutin akan membuat Anda semakin mahir dalam melakukan berbagai jenis perkalian aljabar.
Ingatlah untuk selalu memperhatikan tanda positif dan negatif, serta menyederhanakan hasil akhir dengan menggabungkan suku-suku sejenis. Dengan pemahaman dan praktik, perkalian aljabar akan menjadi lebih mudah dikuasai.