Ilustrasi elemen dasar aljabar linear.
Aljabar linear adalah cabang matematika yang mempelajari vektor, ruang vektor (atau dikenal sebagai ruang linear), transformasi linear, dan sistem persamaan linear. Bidang ini menjadi fundamental dalam banyak disiplin ilmu, termasuk fisika, teknik, ilmu komputer, ekonomi, dan statistik. Memahami materi aljabar linear elementer adalah langkah awal yang krusial untuk menguasai konsep-konsep yang lebih kompleks di kemudian hari.
Dalam aljabar linear, vektor dapat dipandang sebagai panah yang memiliki arah dan besaran, atau lebih umum lagi, sebagai objek yang dapat dijumlahkan dan dikalikan dengan skalar. Secara matematis, vektor dapat direpresentasikan sebagai daftar angka yang diatur dalam kolom atau baris. Misalnya, vektor di ruang dua dimensi dapat ditulis sebagai:
Atau dalam bentuk baris: (x, y).
Operasi dasar pada vektor meliputi penjumlahan vektor (menjumlahkan komponen-komponen yang bersesuaian) dan perkalian skalar (mengalikan setiap komponen vektor dengan sebuah bilangan skalar). Konsep penting lainnya adalah norma atau panjang vektor, yang dihitung menggunakan teorema Pythagoras, dan produk titik (dot product) yang menghasilkan sebuah skalar dari dua vektor.
Matriks adalah susunan bilangan (atau elemen lain) yang diatur dalam baris dan kolom. Matriks sering kali digunakan untuk merepresentasikan data atau koefisien dari sistem persamaan linear. Ukuran matriks ditentukan oleh jumlah baris dan kolomnya, misalnya matriks berukuran m x n memiliki m baris dan n kolom.
Contoh matriks 2x3:
Operasi pada matriks meliputi penjumlahan (jika memiliki dimensi yang sama), pengurangan, dan perkalian matriks. Perkalian matriks memiliki aturan yang spesifik dan tidak selalu komutatif (AB tidak selalu sama dengan BA). Matriks identitas adalah matriks persegi yang semua elemen diagonalnya adalah 1 dan elemen lainnya adalah 0, yang berfungsi seperti angka 1 dalam perkalian matriks.
Aljabar linear memberikan alat yang ampuh untuk memecahkan sistem persamaan linear. Sistem persamaan linear adalah kumpulan dari dua atau lebih persamaan linear, yang masing-masing melibatkan variabel yang sama. Contoh sistem dua persamaan linear dengan dua variabel:
Solusi dari sistem ini adalah nilai-nilai x dan y yang memenuhi semua persamaan secara bersamaan. Matriks sangat berguna dalam menyelesaikan sistem semacam ini. Dengan mengubah sistem persamaan menjadi bentuk matriks, kita bisa menggunakan metode seperti eliminasi Gauss-Jordan atau mencari invers matriks untuk menemukan solusinya. Determinan matriks juga memainkan peran penting dalam menentukan keberadaan dan keunikan solusi.
Transformasi linear adalah fungsi antara dua ruang vektor yang mempertahankan operasi penjumlahan vektor dan perkalian skalar. Dengan kata lain, transformasi linear "melestarikan" struktur ruang vektor. Transformasi ini sering kali direpresentasikan oleh perkalian matriks. Misalnya, sebuah transformasi linear dari R² ke R² dapat direpresentasikan oleh matriks 2x2.
Jenis transformasi linear yang umum meliputi rotasi, penskalaan, refleksi, dan geseran (shearing). Memahami transformasi linear penting dalam bidang-bidang seperti grafika komputer, pemrosesan citra, dan fisika.
Ruang vektor adalah himpunan objek (vektor) yang dilengkapi dengan dua operasi dasar: penjumlahan vektor dan perkalian skalar, yang memenuhi sekumpulan aksioma tertentu. Contoh ruang vektor yang paling umum adalah Rⁿ, yaitu himpunan semua vektor dengan n komponen bilangan real.
Subruang adalah himpunan bagian dari ruang vektor yang juga merupakan ruang vektor tersendiri di bawah operasi yang sama. Syarat sebuah himpunan menjadi subruang adalah ia harus berisi vektor nol, tertutup di bawah penjumlahan vektor, dan tertutup di bawah perkalian skalar.
Mempelajari aljabar linear elementer membuka pintu ke pemahaman yang lebih dalam tentang matematika terapan dan komputasi. Konsep-konsep yang dibahas di sini menjadi fondasi bagi banyak algoritma dan model yang digunakan dalam dunia modern.