Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan Aljabar

Pecahan aljabar merupakan bagian penting dalam matematika yang seringkali membingungkan banyak siswa. Mirip dengan pecahan biasa, pecahan aljabar melibatkan ekspresi dengan variabel di pembilang dan/atau penyebut. Memahami cara menjumlahkan dan mengurangkannya adalah kunci untuk menguasai aljabar lebih lanjut.

Tujuan utama dalam penjumlahan dan pengurangan pecahan aljabar adalah memastikan kedua pecahan memiliki penyebut yang sama. Tanpa penyebut yang sama, Anda tidak bisa langsung menjumlahkan atau mengurangkan pembilangnya. Proses ini sedikit berbeda dari penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat, karena kita berurusan dengan ekspresi aljabar yang bisa jadi lebih kompleks.

Ilustrasi abstrak simbol aljabar

Menemukan Penyebut Bersama

Langkah pertama dan terpenting adalah menemukan penyebut bersama (Lowest Common Denominator/LCD) dari semua pecahan yang terlibat. Penyebut bersama adalah kelipatan persekutuan terkecil dari penyebut-penyebut tersebut. Untuk pecahan aljabar, ini berarti mencari ekspresi yang dapat dibagi oleh setiap penyebut asli tanpa sisa.

Jika penyebutnya adalah konstanta atau monomial sederhana, mencari LCD relatif mudah. Misalnya, untuk pecahan dengan penyebut 3 dan 5, LCD-nya adalah 15. Namun, jika penyebutnya adalah polinomial, Anda mungkin perlu memfaktorkan polinomial tersebut terlebih dahulu untuk menemukan LCD-nya.

Contoh:

Contoh 1: Penyebut Monomial

Misalkan kita ingin menjumlahkan:

\frac{2}{3x} + \frac{4}{5x}

Penyebutnya adalah 3x dan 5x. LCD dari 3 dan 5 adalah 15. Karena kedua penyebut sudah memiliki variabel x, maka LCD dari 3x dan 5x adalah 15x.

Untuk membuat penyebutnya sama, kita mengalikan:

\frac{2}{3x} \times \frac{5}{5} = \frac{10}{15x}
\frac{4}{5x} \times \frac{3}{3} = \frac{12}{15x}

Sekarang kedua pecahan memiliki penyebut yang sama, kita bisa menjumlahkan pembilangnya:

\frac{10}{15x} + \frac{12}{15x} = \frac{10+12}{15x} = \frac{22}{15x}

Menjumlahkan atau Mengurangkan Pembilang

Setelah semua pecahan memiliki penyebut yang sama, langkah selanjutnya adalah menjumlahkan atau mengurangkan pembilangnya. Perhatikan baik-baik tanda operasi (plus atau minus) di antara pecahan.

Jika operasinya adalah penjumlahan, jumlahkan pembilang dari setiap pecahan. Jika operasinya adalah pengurangan, kurangkan pembilang dari pecahan kedua dari pembilang pecahan pertama. Pastikan untuk mendistribusikan tanda negatif dengan benar jika ada lebih dari satu suku di pembilang yang akan dikurangi.

Tips Penting: Ketika mengurangkan pecahan aljabar, terutama jika pembilangnya adalah ekspresi dengan lebih dari satu suku (misalnya, dalam kurung), pastikan Anda mendistribusikan tanda negatif ke setiap suku di dalam kurung. Kesalahan umum terjadi di sini.

Contoh 2: Pengurangan dengan Pembilang Polinomial

Mari kita kurangkan:

\frac{x+1}{x-2} - \frac{x-3}{x-2}

Penyebutnya sudah sama, yaitu (x-2). Jadi, kita langsung kurangkan pembilangnya:

\frac{(x+1) - (x-3)}{x-2}

Perhatikan penggunaan kurung. Sekarang distribusikan tanda negatif:

\frac{x+1 - x + 3}{x-2}

Sederhanakan pembilangnya:

\frac{4}{x-2}

Menangani Penyebut yang Berbeda (Polinomial)

Kasus yang lebih menantang muncul ketika penyebutnya adalah polinomial yang berbeda dan tidak memiliki faktor bersama yang jelas atau memiliki faktor yang berbeda. Dalam situasi ini, Anda perlu menemukan LCD dengan memfaktorkan setiap penyebut terlebih dahulu.

LCD dari dua ekspresi aljabar adalah hasil perkalian dari faktor-faktor unik dari masing-masing ekspresi, dengan pangkat tertinggi dari setiap faktor. Setelah LCD ditemukan, Anda akan memodifikasi setiap pecahan sehingga memiliki penyebut yang sama dengan LCD.

Contoh 3: Penyebut Polinomial Berbeda

Jumlahkan pecahan berikut:

\frac{3}{x+1} + \frac{2}{x-1}

Penyebutnya adalah (x+1) dan (x-1). Kedua ekspresi ini sudah dalam bentuk paling sederhana dan tidak memiliki faktor yang sama. Jadi, LCD mereka adalah hasil perkalian keduanya: (x+1)(x-1).

Sesuaikan pecahan pertama:

\frac{3}{x+1} \times \frac{x-1}{x-1} = \frac{3(x-1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{3x-3}{x^2-1}

Sesuaikan pecahan kedua:

\frac{2}{x-1} \times \frac{x+1}{x+1} = \frac{2(x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{2x+2}{x^2-1}

Sekarang kedua pecahan memiliki penyebut yang sama (x^2-1). Jumlahkan pembilangnya:

\frac{3x-3}{x^2-1} + \frac{2x+2}{x^2-1} = \frac{(3x-3) + (2x+2)}{x^2-1}

Sederhanakan pembilangnya:

\frac{3x - 3 + 2x + 2}{x^2-1} = \frac{5x - 1}{x^2-1}

Penyederhanaan Akhir

Setelah menjumlahkan atau mengurangkan pembilang dan menyederhanakan ekspresi, selalu periksa apakah pecahan aljabar yang dihasilkan dapat disederhanakan lebih lanjut. Ini mungkin melibatkan pemfaktoran pembilang dan penyebut untuk mencari faktor persekutuan yang dapat dibatalkan.

Memahami konsep penyebut bersama dan teknik pemfaktoran adalah kunci untuk berhasil dalam penjumlahan dan pengurangan pecahan aljabar. Dengan latihan yang konsisten, Anda akan menemukan bahwa proses ini menjadi lebih intuitif.

Related Posts

🏠 Homepage