Dalam dunia matematika, kita seringkali dihadapkan pada berbagai jenis operasi hitung. Salah satunya adalah penjumlahan pecahan aljabar. Operasi ini mungkin terdengar rumit bagi sebagian orang, namun dengan pemahaman yang tepat, penjumlahan pecahan aljabar dapat dikuasai dengan baik. Artikel ini akan memandu Anda langkah demi langkah untuk memahami cara menjumlahkan pecahan yang memiliki variabel di dalamnya.
Ilustrasi: Konsep penjumlahan dua pecahan aljabar.
Sebelum melangkah ke penjumlahan, penting untuk memahami apa itu pecahan aljabar. Pecahan aljabar adalah suatu pecahan yang pembilang (numerator) dan/atau penyebutnya (denominator) mengandung variabel (huruf seperti x, y, a, b) atau ekspresi aljabar. Contohnya adalah $\frac{x}{2}$, $\frac{y+1}{x-3}$, atau $\frac{3a^2}{b}$.
Prinsip dasar dalam penjumlahan pecahan, baik pecahan biasa maupun pecahan aljabar, adalah bahwa kedua pecahan harus memiliki penyebut yang sama. Jika penyebutnya sudah sama, maka kita hanya perlu menjumlahkan pembilangnya. Namun, jika penyebutnya berbeda, kita perlu mencari penyebut bersama terkecil (Least Common Denominator/LCD) sebelum menjumlahkan pembilangnya.
Langkah pertama adalah mengamati penyebut dari kedua pecahan yang akan dijumlahkan. Apakah penyebutnya sudah sama atau berbeda?
Jika penyebutnya berbeda, Anda perlu mencari Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari kedua penyebut tersebut. KPK inilah yang akan menjadi penyebut bersama (LCD) untuk kedua pecahan.
Cara mencari KPK dari ekspresi aljabar seringkali melibatkan faktorisasi dari masing-masing penyebut. Setelah itu, ambil setiap faktor unik dengan pangkat tertinggi yang muncul di salah satu faktorisasi.
Misalkan kita ingin menjumlahkan $\frac{2}{x+1}$ dan $\frac{3}{x-1}$.
Penyebutnya adalah $(x+1)$ dan $(x-1)$. Karena kedua penyebut ini tidak memiliki faktor yang sama dan tidak bisa disederhanakan lebih lanjut, maka KPK-nya adalah hasil perkalian kedua penyebut tersebut, yaitu $(x+1)(x-1)$.
Untuk mengubah pecahan pertama agar memiliki penyebut $(x+1)(x-1)$, kita kalikan pembilang dan penyebutnya dengan $(x-1)$: $$ \frac{2}{x+1} = \frac{2(x-1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{2x-2}{(x+1)(x-1)} $$ Untuk mengubah pecahan kedua agar memiliki penyebut $(x+1)(x-1)$, kita kalikan pembilang dan penyebutnya dengan $(x+1)$: $$ \frac{3}{x-1} = \frac{3(x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{3x+3}{(x+1)(x-1)} $$ Sekarang kedua pecahan memiliki penyebut yang sama: $\frac{2x-2}{(x+1)(x-1)}$ dan $\frac{3x+3}{(x+1)(x-1)}$.
Setelah penyebutnya sama, langkah selanjutnya adalah menjumlahkan pembilang dari kedua pecahan. Pastikan untuk menjumlahkan suku-suku yang sejenis jika ada.
Sekarang kita jumlahkan pembilangnya:
$$ \frac{2x-2}{(x+1)(x-1)} + \frac{3x+3}{(x+1)(x-1)} = \frac{(2x-2) + (3x+3)}{(x+1)(x-1)} $$Jumlahkan suku-suku sejenis di pembilang:
$$ \frac{2x + 3x - 2 + 3}{(x+1)(x-1)} = \frac{5x + 1}{(x+1)(x-1)} $$Jadi, hasil penjumlahan $\frac{2}{x+1} + \frac{3}{x-1}$ adalah $\frac{5x + 1}{(x+1)(x-1)}$.
Langkah terakhir adalah memeriksa apakah hasil penjumlahan pecahan aljabar tersebut dapat disederhanakan. Ini biasanya melibatkan faktorisasi ulang pembilang dan penyebut untuk mencari faktor persekutuan yang bisa dihilangkan.
Jumlahkan $\frac{x}{x^2-4}$ dan $\frac{2}{x+2}$.
Faktorisasi penyebut pertama: $x^2-4 = (x-2)(x+2)$.
Penyebut kedua adalah $(x+2)$.
Penyebut bersama terkecil (LCD) adalah $(x-2)(x+2)$.
Pecahan pertama sudah memiliki penyebut yang diinginkan. Untuk pecahan kedua, kita kalikan pembilang dan penyebutnya dengan $(x-2)$: $$ \frac{2}{x+2} = \frac{2(x-2)}{(x+2)(x-2)} = \frac{2x-4}{(x-2)(x+2)} $$ Sekarang jumlahkan kedua pecahan: $$ \frac{x}{(x-2)(x+2)} + \frac{2x-4}{(x-2)(x+2)} = \frac{x + (2x-4)}{(x-2)(x+2)} $$ $$ = \frac{3x-4}{(x-2)(x+2)} $$ Dalam contoh ini, pembilang $(3x-4)$ tidak memiliki faktor bersama dengan penyebut $(x-2)(x+2)$, sehingga hasil ini sudah dalam bentuk paling sederhana.
Penjumlahan pecahan aljabar membutuhkan pemahaman yang kuat tentang faktorisasi dan operasi dasar pada aljabar. Kunci utamanya adalah menyamakan penyebut sebelum menjumlahkan pembilangnya. Dengan latihan yang konsisten, Anda akan semakin terampil dalam menyelesaikan berbagai soal penjumlahan pecahan aljabar.
Ingatlah selalu untuk:
Menguasai penjumlahan pecahan aljabar akan membuka pintu pemahaman yang lebih dalam terhadap berbagai konsep matematika lanjutan.