Aljabar linear adalah cabang matematika yang mempelajari vektor, ruang vektor (juga dikenal sebagai ruang linear), transformasi linear, dan sistem persamaan linear. Konsep-konsep ini sangat fundamental dalam banyak bidang ilmu, termasuk fisika, teknik, ilmu komputer, ekonomi, dan statistika.
1. Vektor dan Ruang Vektor
Vektor adalah objek geometris yang memiliki besar (magnitudo) dan arah. Dalam aljabar linear, vektor sering direpresentasikan sebagai daftar angka (komponen). Ruang vektor adalah himpunan vektor yang memenuhi sifat-sifat tertentu, memungkinkan operasi seperti penjumlahan vektor dan perkalian skalar. Contoh ruang vektor yang paling umum adalah ruang Rn, yaitu himpunan semua vektor dengan n komponen real.
Penjumlahan Vektor: Dilakukan secara komponen demi komponen. Jika u = [u1, u2] dan v = [v1, v2], maka u + v = [u1 + v1, u2 + v2].
Perkalian Skalar: Mengalikan setiap komponen vektor dengan sebuah skalar. Jika c adalah skalar dan v = [v1, v2], maka cv = [cv1, cv2].
2. Matriks
Matriks adalah susunan persegi panjang dari angka, simbol, atau ekspresi yang diatur dalam baris dan kolom. Matriks merupakan alat yang sangat kuat untuk merepresentasikan data dan melakukan berbagai operasi komputasi.
Ukuran Matriks: Ditentukan oleh jumlah baris (m) dan jumlah kolom (n), ditulis sebagai matriks m x n.
Operasi Matriks:
Penjumlahan/Pengurangan Matriks: Hanya dapat dilakukan jika kedua matriks memiliki ukuran yang sama.
Perkalian Matriks: Perkalian matriks A (m x n) dengan matriks B (n x p) menghasilkan matriks C (m x p). Syaratnya, jumlah kolom A harus sama dengan jumlah baris B.
Perkalian Matriks dengan Skalar: Mengalikan setiap elemen matriks dengan skalar.
Jenis Matriks Khusus: Matriks identitas (memiliki 1 di diagonal utama dan 0 di tempat lain), matriks nol, matriks diagonal, matriks segitiga.
Matriks Transpose: Matriks yang diperoleh dengan menukar baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris dari matriks asli.
3. Sistem Persamaan Linear
Sistem persamaan linear adalah sekumpulan persamaan yang masing-masing merupakan persamaan linear. Sistem ini seringkali dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks Ax = b, di mana A adalah matriks koefisien, x adalah vektor variabel, dan b adalah vektor konstanta.
Solusi Sistem:
Satu Solusi Unik: Terjadi ketika matriks A adalah matriks persegi non-singular (determinan tidak nol).
Tak Hingga Banyak Solusi: Terjadi ketika ada variabel bebas.
Tidak Ada Solusi: Terjadi ketika sistem tidak konsisten.
Metode Penyelesaian:
Eliminasi Gauss dan Eliminasi Gauss-Jordan: Menggunakan operasi baris elementer untuk mengubah matriks menjadi bentuk eselon baris atau eselon baris tereduksi.
Menggunakan Matriks Invers: Jika A memiliki invers (A-1), maka solusi dapat ditemukan dengan x = A-1b.
Aturan Cramer: Menggunakan determinan untuk mencari solusi (biasanya hanya efektif untuk sistem kecil).
4. Determinan
Determinan adalah nilai skalar yang dapat dihitung dari elemen-elemen matriks persegi. Determinan memberikan informasi penting tentang matriks, terutama apakah matriks tersebut memiliki invers atau tidak.
Jika det(A) = 0, maka matriks A adalah singular dan tidak memiliki invers.
Jika det(A) ≠ 0, maka matriks A adalah non-singular dan memiliki invers.
Determinan juga terkait dengan volume dan orientasi dalam ruang vektor.
5. Ruang Vektor dan Subruang Vektor
Konsep ruang vektor diperdalam untuk memahami sifat-sifat seperti basis, dimensi, ruang baris, ruang kolom, dan ruang nol dari sebuah matriks. Basis adalah himpunan vektor yang bebas linear dan merentang seluruh ruang, sementara dimensi adalah jumlah vektor dalam basis.
Kebebasan Linear: Sekumpulan vektor dikatakan bebas linear jika satu-satunya cara untuk membuat kombinasi linear mereka sama dengan vektor nol adalah dengan mengalikan setiap vektor dengan skalar nol.
Rentangan (Span): Himpunan semua kombinasi linear yang mungkin dari sekumpulan vektor.
6. Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Nilai eigen (eigenvalue) dan vektor eigen (eigenvector) adalah konsep kunci dalam memahami transformasi linear dan bagaimana mereka mempengaruhi vektor-vektor tertentu. Untuk sebuah matriks persegi A, vektor non-nol v adalah vektor eigen jika Av = λv, di mana λ adalah skalar yang disebut nilai eigen.
Vektor eigen menunjukkan arah yang tidak berubah di bawah transformasi yang diwakili oleh matriks, hanya mengalami penskalaan sebesar nilai eigennya.
Konsep ini sangat penting dalam analisis dinamika sistem, kompresi gambar, dan banyak aplikasi lainnya.
Memahami aljabar linear membuka pintu untuk memecahkan berbagai masalah kompleks dalam sains dan teknologi. Penguasaan konsep-konsep dasar seperti vektor, matriks, sistem persamaan linear, determinan, dan nilai eigen adalah fondasi penting bagi siapa saja yang mendalami bidang-bidang yang menggunakan alat matematika ini.