Pecahan adalah konsep fundamental dalam matematika yang seringkali membuat sebagian siswa merasa sedikit kewalahan. Salah satu bentuk pecahan yang sering ditemui adalah pecahan bersusun, yaitu pecahan yang terdiri dari bilangan bulat dan pecahan di dalamnya, atau bahkan kombinasi keduanya. Menyederhanakan pecahan bersusun mungkin terdengar rumit pada awalnya, namun dengan langkah-langkah yang tepat, proses ini bisa menjadi jauh lebih mudah dan efisien. Artikel ini akan memandu Anda langkah demi langkah untuk menguasai teknik ini.
Pecahan bersusun, sering juga disebut sebagai pecahan bertingkat atau pecahan kompleks, adalah ekspresi yang memiliki pecahan di pembilang atau penyebutnya, atau keduanya. Bentuk umumnya bisa bervariasi, misalnya:
Tujuan utama saat berhadapan dengan pecahan bersusun adalah untuk mengubahnya menjadi bentuk pecahan sederhana, yaitu bentuk $\frac{p}{q}$ di mana p dan q adalah bilangan bulat, dan q tidak sama dengan nol. Ini akan memudahkan perhitungan lebih lanjut.
Dalam pecahan bersusun, perhatikan dengan cermat garis pecahan utama yang memisahkan bagian atas (pembilang) dan bagian bawah (penyebut). Seringkali, pecahan bersusun memiliki beberapa garis pecahan dengan panjang yang berbeda. Garis yang paling panjang biasanya menunjukkan pembilang dan penyebut utama.
Contoh:
Pada $\frac{\frac{3}{4}}{5}$, pembilang utamanya adalah $\frac{3}{4}$ dan penyebut utamanya adalah 5.
Pada $\frac{7}{\frac{2}{3}}$, pembilang utamanya adalah 7 dan penyebut utamanya adalah $\frac{2}{3}$.
Ingatlah bahwa garis pecahan berarti pembagian. Oleh karena itu, pecahan bersusun dapat ditulis ulang sebagai operasi pembagian.
Misalnya, $\frac{\frac{a}{b}}{c}$ sama dengan $(\frac{a}{b}) \div c$.
Dan $\frac{a}{\frac{b}{c}}$ sama dengan $a \div (\frac{b}{c})$.
Untuk membagi pecahan dengan pecahan lain, kita mengalikan pecahan pertama dengan kebalikan (reciprocal) dari pecahan kedua.
Aturan untuk pembagian pecahan adalah: $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c}$.
Jika membagi pecahan dengan bilangan bulat, ubah bilangan bulat tersebut menjadi pecahan dengan penyebut 1.
Contoh:
Untuk $\frac{\frac{3}{4}}{5}$, kita tulis sebagai $\frac{3}{4} \div 5$. Karena $5 = \frac{5}{1}$, maka perhitungannya menjadi:
$\frac{3}{4} \div \frac{5}{1} = \frac{3}{4} \times \frac{1}{5} = \frac{3 \times 1}{4 \times 5} = \frac{3}{20}$.
Untuk $\frac{7}{\frac{2}{3}}$, kita tulis sebagai $7 \div \frac{2}{3}$. Karena $7 = \frac{7}{1}$, maka perhitungannya menjadi:
$\frac{7}{1} \div \frac{2}{3} = \frac{7}{1} \times \frac{3}{2} = \frac{7 \times 3}{1 \times 2} = \frac{21}{2}$.
Setelah mendapatkan hasil dalam bentuk pecahan biasa ($\frac{p}{q}$), periksa apakah pembilang dan penyebut memiliki faktor persekutuan selain 1. Jika ada, bagi keduanya dengan faktor persekutuan terbesar (FPB) untuk mendapatkan bentuk paling sederhana.
Contoh:
Jika hasil Anda adalah $\frac{10}{12}$, FPB dari 10 dan 12 adalah 2. Maka,
$\frac{10 \div 2}{12 \div 2} = \frac{5}{6}$.
Dalam contoh-contoh sebelumnya, $\frac{3}{20}$ sudah dalam bentuk paling sederhana karena tidak ada faktor persekutuan antara 3 dan 20. Begitu juga dengan $\frac{21}{2}$.
Jika pecahan bersusun Anda melibatkan operasi penjumlahan atau pengurangan di dalam pembilang atau penyebut, Anda perlu menyelesaikan operasi di bagian tersebut terlebih dahulu sebelum menerapkan langkah-langkah di atas.
Contoh:
Sederhanakan $\frac{1 + \frac{1}{2}}{3}$.
Pertama, sederhanakan pembilang: $1 + \frac{1}{2} = \frac{2}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
Sekarang pecahan menjadi $\frac{\frac{3}{2}}{3}$.
Lanjutkan dengan langkah-langkah sebelumnya:
$\frac{3}{2} \div 3 = \frac{3}{2} \div \frac{3}{1} = \frac{3}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{3 \times 1}{2 \times 3} = \frac{3}{6}$.
Sederhanakan hasil akhir: $\frac{3 \div 3}{6 \div 3} = \frac{1}{2}$.
Menguasai cara menyederhanakan pecahan bersusun tidak hanya penting untuk tugas-tugas matematika sekolah, tetapi juga merupakan dasar untuk memahami konsep-konsep yang lebih lanjut seperti aljabar, kalkulus, dan bahkan beberapa area fisika dan teknik. Kemampuan untuk memanipulasi dan menyederhanakan ekspresi pecahan adalah keterampilan pemecahan masalah yang berharga.
Dengan latihan yang konsisten, Anda akan menemukan bahwa proses ini menjadi intuitif. Ingatlah untuk selalu fokus pada identifikasi pembilang dan penyebut utama, mengubah pembagian, dan kemudian menyederhanakan hasil akhir. Dengan panduan ini, Anda kini siap untuk menaklukkan pecahan bersusun!
Semoga panduan ini membantu Anda lebih percaya diri dalam menyederhanakan pecahan bersusun.