Ilustrasi visual bilangan aljabar sebagai akar dari polinomial.
Dalam dunia matematika, terdapat berbagai jenis bilangan yang memiliki karakteristik unik. Salah satu klasifikasi penting adalah bilangan aljabar. Secara sederhana, bilangan aljabar adalah bilangan yang merupakan akar dari sebuah polinomial non-nol dengan koefisien yang merupakan bilangan rasional. Konsep ini sangat fundamental dalam studi aljabar abstrak dan teori bilangan.
Mari kita uraikan definisi tersebut. Sebuah polinomial adalah ekspresi matematika yang terdiri dari variabel (biasanya dilambangkan dengan 'x') dan koefisien, yang melibatkan operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian dengan eksponen bilangan bulat non-negatif. Contoh polinomial sederhana adalah $x^2 - 4$, $3x^3 + 2x - 1$, atau $5x$.
Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai pecahan $p/q$, di mana $p$ dan $q$ adalah bilangan bulat dan $q$ tidak sama dengan nol. Contoh bilangan rasional adalah 1/2, -3/4, 5 (karena bisa ditulis sebagai 5/1), dan 0. Bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk ini disebut bilangan irasional, seperti $\pi$ atau $e$.
Jadi, jika sebuah bilangan $\alpha$ (alfa) adalah akar dari polinomial $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$, di mana semua koefisien $a_i$ adalah bilangan rasional (dan setidaknya satu koefisien $a_i$ tidak nol), maka $\alpha$ disebut sebagai bilangan aljabar. Ini berarti, ketika kita mengganti $x$ dengan $\alpha$ dalam polinomial tersebut, hasilnya adalah nol: $P(\alpha) = 0$.
Penting untuk membedakan bilangan aljabar dengan jenis bilangan lainnya, terutama bilangan transenden. Bilangan transenden adalah bilangan yang bukan merupakan bilangan aljabar. Artinya, tidak ada polinomial non-nol dengan koefisien rasional yang akarnya adalah bilangan transenden.
Contoh bilangan transenden yang paling terkenal adalah $\pi$ (pi) dan $e$ (basis logaritma natural). Ini berarti tidak mungkin menemukan sebuah polinomial $P(x)$ dengan koefisien rasional sedemikian rupa sehingga $P(\pi) = 0$ atau $P(e) = 0$. Sifat transendental ini membuat $\pi$ dan $e$ menjadi objek studi yang sangat menarik dalam analisis matematika.
Mari kita lihat beberapa contoh konkret untuk memperjelas konsep bilangan aljabar:
Setiap bilangan rasional adalah bilangan aljabar. Mengapa? Ambil sembarang bilangan rasional, katakanlah $r = p/q$. Kita bisa melihat $r$ sebagai akar dari polinomial $x - r = 0$. Polinomial ini memiliki koefisien 1 (untuk $x$) dan $-r$ (konstanta). Karena $r$ adalah rasional, maka $-r$ juga rasional. Jadi, setiap bilangan rasional memenuhi definisi bilangan aljabar.
Contoh: Bilangan 3 adalah rasional dan aljabar (akar dari $x - 3 = 0$). Bilangan -1/2 adalah rasional dan aljabar (akar dari $x + 1/2 = 0$).
Akar kuadrat dari bilangan rasional yang bukan merupakan kuadrat dari bilangan rasional lainnya adalah contoh bilangan aljabar irasional. Ambil contoh $\sqrt{2}$. Bilangan ini adalah akar dari polinomial $x^2 - 2 = 0$. Koefisien dari polinomial ini adalah 1 (untuk $x^2$) dan -2 (konstanta), keduanya adalah bilangan rasional. Oleh karena itu, $\sqrt{2}$ adalah bilangan aljabar.
Contoh lain: $\sqrt{3}$ (akar dari $x^2 - 3 = 0$), $\sqrt{5/7}$ (akar dari $x^2 - 5/7 = 0$).
Konsep ini meluas ke akar pangkat tiga atau lebih tinggi. Misalnya, $\sqrt[3]{5}$ adalah akar dari polinomial $x^3 - 5 = 0$. Koefisiennya adalah 1 dan -5, keduanya rasional. Jadi, $\sqrt[3]{5}$ adalah bilangan aljabar.
Bilangan aljabar tidak terbatas pada bilangan real. Bilangan kompleks juga bisa menjadi aljabar. Contohnya, bilangan imajiner murni $i$ (di mana $i^2 = -1$) adalah akar dari polinomial $x^2 + 1 = 0$. Koefisiennya (1 dan 1) adalah rasional. Jadi, $i$ adalah bilangan aljabar.
Bilangan kompleks $1 + \sqrt{2}i$ juga merupakan bilangan aljabar. Bilangan ini adalah akar dari polinomial $(x - 1)^2 + 2 = 0$, yang setelah dijabarkan menjadi $x^2 - 2x + 3 = 0$. Koefisien 1, -2, dan 3 adalah rasional.
Himpunan semua bilangan aljabar membentuk sebuah lapangan (field). Ini berarti bahwa jika kita memiliki dua bilangan aljabar, hasil penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian (kecuali pembagian dengan nol) dari kedua bilangan tersebut juga akan menghasilkan bilangan aljabar.
Bilangan aljabar dapat diklasifikasikan lebih lanjut menjadi:
Studi mengenai bilangan aljabar sangat erat kaitannya dengan teori Galois, yang membahas hubungan antara lapangan dan grup automorfisme. Teori ini memberikan wawasan mendalam tentang struktur akar-akar polinomial.
Memahami apa itu bilangan aljabar adalah kunci untuk mengapresiasi lebih dalam tentang struktur bilangan. Mereka adalah bilangan yang akarnya dapat "ditangkap" oleh persamaan polinomial dengan koefisien rasional. Sementara bilangan rasional adalah bagian paling dasar dari bilangan aljabar, ranahnya meluas ke banyak bilangan irasional penting yang muncul dalam berbagai konteks matematika, berbeda dengan bilangan transenden yang sifatnya lebih "liar" dan tidak dapat diatasi oleh persamaan polinomial.